北京钢铁学院附属中学2022年高一数学理期末试题含解析

北京钢铁学院附属中学2022年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）在△ABC中，D在BC上，=2，设=，=，则=（） A． + B． + C． + D． ﹣ 参考答案： B 考点： 向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法与减法的几何意义，求出向量即可． 解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示； 在△ABC中，=2，=，=， ∴=﹣=﹣， ∴=﹣=﹣（﹣）； ∴=+=﹣（﹣）=+． 故选：B． 点评： 本题考查了平面向量加法与减法的几何意义的应用问题，是基础题目． 2. 设集合,,则为（    ） A．  B． C． D．R 参考答案： C 3. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为，，，则（）． A． B． C． D． 参考答案： D 无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同． 选． 4. 函数，是(   ) A．最小正周期为的奇函数　　　       B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数　　        D．最小正周期为的偶函数 参考答案： A 略 5. 下列各组函数中，两个函数不是同一函数的是（   ） （1）与 (2) 与   (3) 与 (4) 与 A、(1)(2)(3)         B、(2)(3)(4)          C、(1)（2）(3)(4)     D、(1) (2)(4) 参考答案： A 6. 若函数的图象关于直线x=-2对称，则a,b的值分别为(    )      A   8,15    B 15,8  C   3,4     D   -3,-4 参考答案： A 略 7. 在等差数列中，，则的前5项和=（   ）       A.7           B.15         C.20       D.25   参考答案： B 8. 直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A．         B．        C．          D． 参考答案： A 略 9. 函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据函数奇偶性排除；根据和时，函数值的正负可排除，从而得到正确结果. 【详解】 奇函数，图象关于原点对称，可排除选项； 当时，，可排除选项； 当时，，可排除选项. 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数图象的识别，解决此类问题常用的方法是根据函数的奇偶性、特殊位置的符号、单调性来进行排除. 10. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1] 参考答案： D 【考点】分段函数的应用． 【分析】画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，将关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．通过平移直线，观察即可得到． 【解答】解：画出函数f（x）=的图象， 和直线y=k， 关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点． 观察得出： （1）k＞1，或k＜0有且只有1个交点； （2）0＜k≤1有且只有2个交点． 故实数k的取值范围是（0，1]． 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列的通项公式是，其前n项的和是,则最大时n的取值为         参考答案： 4或5 略 12. 设Sn是数列{an}的前n项和，且，，则__________． 参考答案： 原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 . 【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式. 13. 已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{－1,0,1,2}，则M ∩ N=          ． 参考答案： {0,1}    14. 已知，且，则       . 参考答案： ，且，所以, . 15. 已知点A(－1,5)和向量=（2,3）,若=3,则点B的坐标为      参考答案： (5,14) 16. 已知tan=3，则之值为_____________ 参考答案： 17. 定义在上的函数则的值为      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分14分)已知，点是圆上的点，是线段的中点. （Ⅰ）求点的轨迹的方程． （Ⅱ）过点的直线和轨迹有两个交点（不重合），①若，,求直线的方程．②求的值． 参考答案： （Ⅰ）设，则关于的对称点为， ∵点是圆上的点， ∴，即， 所以轨迹的方程是．………………………………3分 （Ⅱ）① 设，由题意，直线的斜率存在，设为，则直线的方程是, 由方程组　得，， 由,得 ∴，………………………………6分 ∵，∴, ∴, ∴， 解得，，∴直线的方程是， 即直线的方程是或．………………………………10分 【另解】设坐标原点为，作，垂足为． ∵，∴, 由（I）可知，,∴. 又，∴， ∴. ∴直线的斜率，∴直线的方程是， 即直线的方程是或．………………………………10分 ②　由①可得　 ．………………………………13分 ∴． 所以,的值是16．………………………………14分 注：第②小题，如果考生证∽，从而得出（其中是直线和圆相切时的切点），证明完整,得满分，没有证明，直接用者，最多得2分. 19. 已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3} （1）求a的值； （2）若C?（A∩B），求m的值． 参考答案： 【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系得出a的值，再通过验证是否满足题意即可； （2）先得出集合C，再分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵﹣3∈B，∴a﹣3=﹣3或3a﹣1=﹣3，解得a=0或． 当a=0时，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，而A∩B={﹣3，1}≠{﹣3}，∴a≠0； 当时，A={}，B={}，A∩B={﹣3}． 综上得． （2）∵C?（A∩B），∴C=?或{﹣3}． ①当C=?时，m=0，满足题意； ②当C={﹣3}时，﹣3m=1，解得满足题意． 综上可知：m=0或． 【点评】熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键． 20. 一个半径大于2的扇形，其周长，面积 ，求这个扇形的半径 和圆心角 的弧度数. 参考答案： 21. 在等差数列{an}中，a10=30，a20=50． （1）求数列{an}的通项an； （2）令 bn=2，证明数列{bn}为等比数列； （3）求数列{（2n﹣1）bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】（1）等差数列{an}中，由a10=30，a20=50．解得a1=12，d=2，由此能求出数列{an}的通项an． （2）由an=2n+10，知bn=═22n=4n，由此能够证明数列{bn}是等比数列． （3）（2n﹣1）bn=（2n﹣1）4n，由此利用错位相减法能求出数列{（2n﹣1）bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50， 得，解得． ∴an=12+2（n﹣1）=2n+10； 数列{an}的通项an=2n+10； （2）证明：∵an=2n+10， ∴bn==22n=4n， ∴∴==4， ∴数列{bn}是以首项b1=4，公比为4的等比数列． （3）∵（2n﹣1）bn=（2n﹣1）4n， ∴Tn=1?4+3?42+…+（2n﹣1）4n，① 4Tn=1?42+3?43+…+（2n﹣3）4n+（2n﹣1）4n+1，② ①﹣②，得﹣3Tn=4+2×42+…+2×4n﹣（2n﹣1）4n+1， =﹣4﹣（2n﹣1）4n+1， =（4n+1﹣4）﹣4﹣（2n﹣1）4n+1， =×4n+1﹣， Tn=×4n+1+， 数列{（2n﹣1）bn}的前n项和Tn，Tn=×4n+1+． 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用，属于中档题． 22. （本小题满分13分）在中，角、、的对边分别为、、，.（1）求； （2）若，且，求边． 参考答案： 解：（1）  又 解得．，是锐角． ．………………6分 （2），，．………………8分 又．． ．．………………13分 略