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湖南省娄底市墨台实验中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若复数z满足,则z的模的实部与虚部之和为
(A)0 (B) (C)1 (D)3
(6)设是非零向量,已知命题p:若,则;
参考答案:
B
2. 在中,M是BC的重点,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 如图,在A、B间有四个焊接点,若焊接点脱落,而可能导致电路不通,如今发现A、B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 ( )
A.10 B.12 C.13 D.15
参考答案:
C
4. 如图1,设P为△ABC内一点,且,则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 已知是定义在R上的偶函数,且对任意,都有,当时,,则函数在区间上的反函数的值
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
6. 将名学生分别安排到甲、乙,丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,则不同的安排方案共有
A.36种 B.24种 C.18种 D.12种
参考答案:
A
略
7. 已知F是抛物线的焦点,过F点作x轴的垂线与抛物线在第一象限的交点为P,过P点作直线的垂线,垂足为M,直线与x轴的交点为K,在四边形KFPM内作椭圆E,则面积最大的椭圆E的内接矩形的最大面积为( )
A. B. C. 32 D.40
参考答案:
D
由,得,即,则,当时, ,所以
,则四边形为边长分别为10与8的矩形,故在其内作面积最大的椭圆应与各边相切,可知所作的椭圆的长半轴长为5,短半轴长为4,又在椭圆内作内接矩形的最大面积记为,易知 (为参数),因此,故选D.
8. 椭圆的左顶点为,右焦点为,过点且垂直于轴的直线交于两点,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 在等差数列中,,则的前5项和=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
参考答案:
B
略
10. 已知向量a、b的夹角为θ,|a+b|=2,则θ的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是
参考答案:
68
本题考查了对循环结构程序框图的识别能力,难度较小。 执行程序得,,
12. 若x, y满足约束条件则点P(x, y)构成的区域的面积为 ;的最大值为 .
参考答案:
1;
试题分析:
画出可行域如图所示, .
可得可行域的面积为;
表示可行域内的点与点连线的斜率,由图观察可知当点与点重合时此时直线的斜率最大,即.
考点:线性规划.
13. 已知函数f(x)=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数,则实数m范围为 .
参考答案:
【考点】函数单调性的性质.
【专题】计算题.
【分析】求出f′(x)=2mx+﹣2,因为函数在定义域内是增函数,即要说明f′(x)大于等于0,分离参数求最值,即可得到m的范围.
【解答】解:求导函数,可得f′(x)=2mx+﹣2,x>0,
函数f(x)=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数,所以f′(x)≥0成立,
所以2mx+﹣2≥0,x>0时恒成立,
所以,
所以﹣2m≤﹣1
所以m≥时,函数f(x)在定义域内是增函数.
故答案为.
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力,会找函数单调时自变量的取值范围,属于基础题
14. 若复数满足其中为虚数单位,则________________.
参考答案:
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.
【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.
【试题分析】因为,所以,所以,故答案为.
15. 已知函数y=f(x)的图象在M(2,f(2))处的切线方程是y=x+2,则f(2)+f′(2)= .
参考答案:
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:导数的综合应用.
分析:由函数y=f(x)的图象在M(2,f(2))处的切线方程是y=x+2求得f′(2),再求出f(2),则答案可求.
解答: 解:∵函数y=f(x)的图象在M(2,f(2))处的切线方程是y=x+2,
∴,
又f(2)=,
∴f(2)+f′(2)=3.
故答案为:.
点评:本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是基础题.
16. 从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为 .
参考答案:
10
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.
【解答】解:样本间隔为80÷5=16,
∵42=16×2+10,
∴该样本中产品的最小编号为10,
故答案为:10.
17. = .
参考答案:
4
【考点】定积分.
【分析】利用定积分的几何意义和微积分基本定理即可得出.
【解答】解:原式=,
其中表示如图所示单位圆的面积,
∴=.
∴原式==2+2=4.
故答案为:4.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数,,.
(Ⅰ)当时,求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数有两个零点,试求的取值范围;
(Ⅲ)证明.
参考答案:
见解析
【考点】导数的综合运用
(Ⅰ)函数的定义域是,.
当时,,.
所以函数在点处的切线方程为.
即.
(Ⅱ)函数的定义域为,由已知得.
①当时,函数只有一个零点;
②当,因为,
当时,;当时,.
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
又,,
因为,所以,所以,所以
取,显然且
所以,.
由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点.
③当时,由,得,或.
ⅰ) 当,则.
当变化时,变化情况如下表:
+
-
+
↗
↘
↗
注意到,所以函数至多有一个零点,不符合题意.
ⅱ) 当,则,在单调递增,函数至多有一个零点,不符合题意.
若,则.
当变化时,变化情况如下表:
+
-
+
↗
↘
↗
注意到当时,,,所以函数至多有一个零点,不符合题意.
综上,的取值范围是
(Ⅲ)证明:.
设,其定义域为,则证明即可.
因为,取,则,且.
又因为,所以函数在上单增.
所以有唯一的实根,且.
当时,;当时,.
所以函数的最小值为.
所以.
所以
19. (本小题12分)
设椭圆C1:的左、右焦点分别是F1、F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:与y轴的交点为B,且经过F1,F2点.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设M(0,),N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点,求面积的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)解:由题意可知B(0,-1),则A(0,-2),故b=2.
令y=0得即,则F1(-1,0),F2(1,0),故c=1.
所以.于是椭圆C1的方程为:.…………4分
(Ⅱ)设N(),由于知直线PQ的方程为:
. 即.……………………………5分
代入椭圆方程整理得:, www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
=,
, ,
故
.………………………………7分
设点M到直线PQ的距离为d,则.…………………9分
所以,的面积S
………………11分
当时取到“=”,经检验此时,满足题意.
综上可知,的面积的最大值为.…………………………12分
略
20. 已知函数f(x)=m﹣|x﹣1|,(m>0),且f(x+1)≥0的解集为.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若正实数a,b,c满足,求证:a+2b+3c≥3.
参考答案:
【考点】RA:二维形式的柯西不等式;R4:绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)f(x+1)≥0等价于|x|≤m,求出解集,利用f(x+1)≥0的解集为,求m的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,利用柯西不等式即可证明.
【解答】(Ⅰ)解:因为f(x+1)=m﹣|x|,
所以f(x+1)≥0等价于|x|≤m,
由|x|≤m,得解集为,(m>0)
又由f(x+1)≥0的解集为,故m=3.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,
又∵a,b,c是正实数,
∴a+2b+3c=.
当且仅当时等号成立,
所以a+2b+3c≥3.
21. 已知椭圆的离心率为,且曲线过点
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点不在圆内,求的取值范围.
参考答案:
(1) (2)
(1),,∴……①………2分
曲线过,则……②……………3分
由①②解得…………………4分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则椭圆方程为………………5分
(2)联立方程,消去整理得:………7分
则…………………………8分
解得……③………………………………………………9分
,
即的中点为……………………………………………10分
又∵的中点不在内,∴………12分
解得,……④……………………………………………13分
由③④得:…………………………………14分
22. 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,Sn为其前n项和,且对任意正整数n都有an2=S2n﹣1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,an≠0.对任意正整数n都有an2=S2n﹣1,可得=a1, =S3=,解得a1,d,即可得出.
(2)=?3n﹣1,可得bn=(2n﹣3)?3n﹣1,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,an≠0.
对任意正整数n都有an2=S2n﹣1,∴=a1, =S3=,
解得a1=1,d=2,或﹣1(舍去).
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)=?3n﹣1,∴bn=(2n﹣3)?3n﹣1,
∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣1+3+3×32+…+(2n﹣3)?3n﹣1,
∴3Tn=﹣3+32+3×33+…+(2n﹣5)?3n﹣1+(2n﹣3)?3n,
∴﹣2Tn=﹣1+2(3+32+…+3n﹣1)+(2n﹣3)?3n=﹣1+2×﹣(2n﹣3)?
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