湖南省娄底市墨台实验中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省娄底市墨台实验中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数z满足，则z的模的实部与虚部之和为 （A）0　　（B）　　（C）1　　（D）3 （6）设是非零向量，已知命题p：若，则； 参考答案： B 2. 在中，M是BC的重点，则等于(    ) A.      B.      C.      D． 参考答案： C 3. 如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有　　　　　　（　　） A．10　　　　 B．12       C．13　　　　 D．15 参考答案： 　C 4. 如图1，设P为△ABC内一点，且，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 (    )       A.   B.    C.    D. 参考答案： A 5. 已知是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当时，，则函数在区间上的反函数的值 （A）          （B）        （C）            （D） 参考答案： A 6. 将名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有 A．36种          B．24种     C．18种    D．12种 参考答案： A 略 7. 已知F是抛物线的焦点，过F点作x轴的垂线与抛物线在第一象限的交点为P，过P点作直线的垂线，垂足为M，直线与x轴的交点为K，在四边形KFPM内作椭圆E，则面积最大的椭圆E的内接矩形的最大面积为（    ） A．         B．      C. 32        D．40 参考答案： D 由，得，即，则，当时， ，所以 ，则四边形为边长分别为10与8的矩形，故在其内作面积最大的椭圆应与各边相切，可知所作的椭圆的长半轴长为5，短半轴长为4，又在椭圆内作内接矩形的最大面积记为，易知 (为参数)，因此，故选D. 8. 椭圆的左顶点为，右焦点为，过点且垂直于轴的直线交于两点，若，则椭圆的离心率为(    ) A．         B．       C.         D． 参考答案： A 9. 在等差数列中,,则的前5项和=（　　） A．7 B．15 C．20 D．25 参考答案： B 略 10. 已知向量a、b的夹角为θ，|a+b|=2，则θ的取值范围是(   ) A.  B.  C. D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是         参考答案： 68 本题考查了对循环结构程序框图的识别能力，难度较小。 执行程序得，， 12. 若x, y满足约束条件则点P(x, y)构成的区域的面积为     ；的最大值为          ． 参考答案： 1； 试题分析： 画出可行域如图所示, . 可得可行域的面积为; 表示可行域内的点与点连线的斜率,由图观察可知当点与点重合时此时直线的斜率最大,即. 考点：线性规划. 13. 已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为        ． 参考答案： 【考点】函数单调性的性质． 【专题】计算题． 【分析】求出f′（x）=2mx+﹣2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f′（x）大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围． 【解答】解：求导函数，可得f′（x）=2mx+﹣2，x＞0， 函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立， 所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立， 所以， 所以﹣2m≤﹣1 所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数． 故答案为． 【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题 14. 若复数满足其中为虚数单位，则________________． 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【试题分析】因为，所以，所以，故答案为. 15. 已知函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2，则f（2）+f′（2）=    ． 参考答案： 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：由函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2求得f′（2），再求出f（2），则答案可求． 解答： 解：∵函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2， ∴， 又f（2）=， ∴f（2）+f′（2）=3． 故答案为：． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题． 16. 从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为　　． 参考答案： 10 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可． 【解答】解：样本间隔为80÷5=16， ∵42=16×2+10， ∴该样本中产品的最小编号为10， 故答案为：10． 17. =　      ． 参考答案： 4 【考点】定积分． 【分析】利用定积分的几何意义和微积分基本定理即可得出． 【解答】解：原式=， 其中表示如图所示单位圆的面积， ∴=． ∴原式==2+2=4． 故答案为：4． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数，，． （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围； （Ⅲ）证明． 参考答案： 见解析 【考点】导数的综合运用 （Ⅰ）函数的定义域是，． 当时，，． 所以函数在点处的切线方程为． 即． （Ⅱ）函数的定义域为，由已知得． ①当时，函数只有一个零点； ②当，因为， 当时，；当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又，， 因为，所以，所以，所以 取，显然且 所以，． 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当时，由，得，或． ⅰ) 当，则． 当变化时，变化情况如下表：                 +     －     +     ↗     ↘       ↗   注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意． 若，则． 当变化时，变化情况如下表：                 +     －     +     ↗       ↘     ↗   注意到当时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意． 综上，的取值范围是 （Ⅲ）证明：． 设，其定义域为，则证明即可． 因为，取，则，且． 又因为，所以函数在上单增． 所以有唯一的实根，且． 当时，；当时，． 所以函数的最小值为． 所以． 所以 19. （本小题12分） 设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：与y轴的交点为B，且经过F1，F2点． （Ⅰ）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求面积的最大值． 参考答案： （Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．          令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．    所以．于是椭圆C1的方程为：．…………4分   （Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为： ． 即．……………………………5分 代入椭圆方程整理得：,   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网 =,  , , 故        ．………………………………7分 设点M到直线PQ的距离为d，则．…………………9分 所以，的面积S  ………………11分 当时取到“=”，经检验此时，满足题意． 综上可知，的面积的最大值为．…………………………12分 略 20. 已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|，（m＞0），且f（x+1）≥0的解集为． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若正实数a，b，c满足，求证：a+2b+3c≥3． 参考答案： 【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R4：绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）f（x+1）≥0等价于|x|≤m，求出解集，利用f（x+1）≥0的解集为，求m的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用柯西不等式即可证明． 【解答】（Ⅰ）解：因为f（x+1）=m﹣|x|， 所以f（x+1）≥0等价于|x|≤m， 由|x|≤m，得解集为，（m＞0） 又由f（x+1）≥0的解集为，故m=3． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 又∵a，b，c是正实数， ∴a+2b+3c=． 当且仅当时等号成立， 所以a+2b+3c≥3． 21. 已知椭圆的离心率为，且曲线过点 （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求的取值范围. 参考答案： （1）  （2） （1），，∴……①………2分     曲线过，则……②……………3分 由①②解得…………………4分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     则椭圆方程为………………5分 (2)联立方程，消去整理得：………7分 则…………………………8分 解得……③………………………………………………9分 ， 即的中点为……………………………………………10分 又∵的中点不在内，∴………12分 解得，……④……………………………………………13分 由③④得：…………………………………14分 22. 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且对任意正整数n都有an2=S2n﹣1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，an≠0．对任意正整数n都有an2=S2n﹣1，可得=a1， =S3=，解得a1，d，即可得出． （2）=?3n﹣1，可得bn=（2n﹣3）?3n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，an≠0． 对任意正整数n都有an2=S2n﹣1，∴=a1， =S3=， 解得a1=1，d=2，或﹣1（舍去）． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． （2）=?3n﹣1，∴bn=（2n﹣3）?3n﹣1， ∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣1+3+3×32+…+（2n﹣3）?3n﹣1， ∴3Tn=﹣3+32+3×33+…+（2n﹣5）?3n﹣1+（2n﹣3）?3n， ∴﹣2Tn=﹣1+2（3+32+…+3n﹣1）+（2n﹣3）?3n=﹣1+2×﹣（2n﹣3）?