湖北省黄冈市马井中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省黄冈市马井中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象 A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位 参考答案： 2. 读右侧程序框图，该程序运行后输出的A值为   A．     B．     C．      D． 参考答案： C 3. 从双曲线的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|等于                                                         （    ）        A．                     B．                     C． D． 参考答案： 答案:C 4. 设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是（    ） （A）         （B）        （C）       （D） 参考答案： C 5. 已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当x＞ 0时， f (x) ＝2x－ 3,则f (－2) =（ ） A．1 　B．—1 　C．　　D．－ 参考答案： B 6. 直线与圆相交于两点，则等于（    ） A．           B．           C．         D． 参考答案： A 7. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 A． B．    C．      D． 参考答案： D 略 8. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是(     ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 参考答案： B 【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数． 【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求； ②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求； ③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求； ④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意． 故选B． 【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件． 9. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是 A．线性相关关系较强，的值为 B．线性相关关系较强，的值为 C．线性相关关系较强，的值为－0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值 参考答案： B 10. 设>0,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（    ） A．        B．        C．        D．3 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知,那么展开式中含项的系数为________________. 参考答案： 135 12. 若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 参考答案： 解：因为，对任意恒成立，所以有 13. 在等比数列{an}中，若 ，则＝        ． 参考答案： 14. 设函数．若有唯一的零点（），则实数a＝     ． 参考答案： 略 15. 设实数、满足约束条件，则的最小值为________. 参考答案： 14 16. 函数（）的反函数是  . 参考答案： 17. 已知函数在（0， 1）上不是单调函数，则实数的取值范围为   _____.       参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2， =2，△DF1F2的面积为． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2， 由=2，得|DF1|==c， 从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1． 从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=， 因此|DF2|=， 所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1， 因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，   y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|， 由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0， 由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0． 当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在； 当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0） 由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得?=﹣1，而|y1|=|x1+1|=， 故y0=， 故圆C的半径|CP1|==． 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=． 19.     在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S， 已知 ．     （Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；     （Ⅱ）若，求b． 参考答案： （Ⅰ）由正弦定理得： 即                  　　 ∴ 即                      　　　 ∵ ∴  即 ∴成等差数列。                                 　　　　 （Ⅱ）∵       ∴            　　　 又        　　 由（Ⅰ）得：    ∴  20. (本小題满分12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表： 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言． （Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率； （Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 参考答案： 21. （本小题13分） 数列的前项和为,点在直线（m∈N+，m≠3）上 （1）求数列的通项公式； （2）若数列的公比，数列满足，（n∈N+，n≥2）， 求证：为等差数列，并求通项； （3）若,为数列的前项和，求的最小值 . 参考答案： 【知识点】数列与解析几何的综合．  D5 【答案解析】(1) ；（2）证明：略；；（3）. 解析：（1） ∴{an}等比且 令n=1得（3﹣m）S1+2ma1﹣m﹣3=0， ∴（3+m）a1=m+3?a1=1∴ （2） 由 ∴等差且 （3）当m=1时，∴ ∴ 令 由差错位相减法可得 ∴ 由Tn+1﹣Tn＞0?{Tn}递增 ∴． 【思路点拨】（1）由题设，（3﹣m）Sn+2man﹣m﹣3=0，所以（3﹣m）a1+2ma1﹣m﹣3=0?a1==1，故（3﹣m）Sn﹣1+2man﹣1﹣m﹣3=0，由此能求出an． （2）由q=，b1=3，a1=1，由，得，由此能得到{}为等差数列， 并能求出bn． （3），利用错位相减法求和即可得出Tn的最小值． 22. 已知函数． （1）若，试求最小值； （2）若都有恒成立，求的取值范围. 参考答案： （1）；（2）.   试题解析：（1）当时，， ，在单调递减，在单调递增. ∴当时，. （2）在时恒成立， . 当时，恒成立，∴. 当时，. 令，， . 令，， ∴在上单调递增，. ∴，在上单调递增， . 由洛必达法则：. ∴， ∴，即. 考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）恒成立问题.