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湖北省黄冈市团风县淋山河中学2022年高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知O为坐标原点,双曲线的右焦点F,以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B,若,则双曲线的离心率为
A.2 B.3 C. D.
参考答案:
C
2. 复数的实部与虚部互为相反数,则的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 等差数列中,若为一确定常数,则下列前n项和也是常数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知正数x,y满足,则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
C
画出约束条件的可行域,又,令,由可行域知:函数过点(1,2)时有最小值,最小值为,所以的最小值为。
5. 函数f(x)=是( )
A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 B.奇函数,在(0,+∞)是增函数
C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】判断函数的定义域为R,然后利用定义判断f(x)与f(﹣x)的关系,利用2x的单调性判断f(x)单调性.
【解答】解:f(x)的定义域为R,
f(﹣x)==﹣f(x),
则函数f(x)为奇函数;
又y=2x为增函数,y=﹣2﹣x为增函数,
∴f(x)为增函数;
故选B.
【点评】本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定.
6. 定义数列:;数列:;
数列:;若的前n项的积为,的前n项的和为,那么( )
A. B. 2 C. 3 D.不确定
参考答案:
A
略
7. 已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如下图所示,其中A,B分别为函数f(x)图象的一个最高点和最低点,且A,B两点的横坐标分别为1,4,若?=0,则函数f(x)的一个单调减区间为( )
A.(﹣6,﹣3) B.(6,9) C.(7,10) D.(10,13)
参考答案:
C
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】求出函数的周期,利用周期公式可求ω,利用向量的坐标运算可求M,利用A(1,2)在函数图象上可求φ,利用三角函数的图象和性质即可得到结论.
【解答】解:由题意可得:周期T=2×(4﹣1)=6=,
解得:ω=,
可得坐标:A(1,M),B(4,﹣M),=(1,M),=(4,﹣M),
由于: ?=0,可得:1×4﹣M2=0,解得:M=2,
可得:2sin(×1+φ)=2,解得:×1+φ=2kπ+,k∈Z,
可得:φ=2kπ+,k∈Z,
由于:0<φ<,
可得:φ=,解得函数解析式为:f(x)=2sin(x+),
令2kπ+<x+<2kπ+,k∈Z,解得:6k+1<x<6k+4,k∈Z,
可得:当k=1时,函数f(x)的一个单调减区间为:(7,10).
故选:C.
8. 若,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 某几何体的三视图如图所示,根据图中数据可知该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
由某器物的三视图知,此器物为一个简单组合体,其上部为一个半径为1的球体,下部为一个圆锥,故分别用公式求出两个几何体的体积,相加即可得该器物的体积.
【详解】此简单组合体上部为一个半径为1的球体,其体积为,
下部为一个高为,底面半径为1的圆锥,
故其体积为,
综上此简单组合体的体积为,故选D.
【点睛】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考对三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是简单几何体的表面积,涉及到球的表面积公式与圆锥的表面积公式.做对此题要熟练掌握三视图的投影规则,即:主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等
10. 已知
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)+k有三个零点,则k的取值范围是 .
参考答案:
(,0)
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用数形结合的思想,若函数g(x)=f(x)+k有三个零点,也就是f(x)=g(x)﹣k,即y=﹣k与f(x)有三个交点,只要求出f(x)的最小值即可.
解答: 解:如图所示,∵f(x)=(x≥0)
∴
令f′(x)=0,
则x=1,
当0≤x<1时,f′(x)>0,函数f(x)为单调递增函数,
当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)为单调递减函数,
∴当x=1时,函数f(x)有最大值,最大值为f(1)=,
∴﹣k=
即k=,
∴k的取值范围是(,0)
点评: 本题考查了函数零点的问题,利用数形结合的思想,转化为求函数的最值问题,属于中档题.
12. 函数的定义域为 .
参考答案:
(
13. 幂函数过点,则= .
参考答案:
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.B8
【答案解析】2 解析:∵幂函数y=(m2﹣3m+3)xm过点(2,4),
∴,解得m=2.故答案为:2.
【思路点拨】由题意得,由此能求出m=2.
14. 已知集合,,则A∩B=____.
参考答案:
【分析】
利用交集定义直接求解.
【详解】集合,,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
15. (文)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为________
参考答案:
文8
16. 设(为虚数单位),则复数的模为 ▲
参考答案:
5
17. 已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上,且平面ABC,,
若四面体P - ABC的体积为,则该球的表面积为_________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x, y, z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x, y, z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
⑴利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
⑵在该样品中, 随机抽取2件产品,设“取出的2件产品的综合指标之差的绝对值”为随机变量ξ。求ξ的分布列及其均值。
参考答案:
解 (1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6. ………………………………………5分
(2) 的所有可能取值为0、1、2、3………………………………………6分
,,
,………………………………………10分
的分布列为:
0
1
2
3
P
所以的数学期望为:。………………………………………12分
略
19. (本小题满分12分)
某工厂生产甲、乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标
[70,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100)
芯片甲
8
12
40
32
8
芯片乙
7
18
40
29
6
(Ⅰ)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率;
(Ⅱ)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件芯片乙,若是合格品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润,求随机变量X的概率分布列和数学期望值.
参考答案:
(Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为=,…………………1分
芯片乙为合格品的概率约为=.…………………2分
(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为,…………………………4分
×=,×=,
×=,×=,……………8分
所以随机变量的概率分布列为
……………………………10分
.
所以随机变量的数学期望值为.…………………………………12分
20. (本小题满分14分)
已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1) .
(1) 设a=2,.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x) -6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
参考答案:
(1)因为,所以.
①方程,即,亦即,
所以,于是,解得.
②由条件知.
因为对于恒成立,且,
所以对于恒成立.
而,且,
所以,故实数的最大值为4.
(2)因为函数只有1个零点,而,
所以0是函数的唯一零点.
因为,又由知,
所以有唯一解.
令,则,
从而对任意,,所以是上的单调增函数,
于是当,;当时,.
因而函数在上是单调减函数,在上是单调增函数.
下证.
若,则,于是,
又,且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若,同理可得,在和之间存在的非0的零点,矛盾.
因此,.
于是,故,所以.
21. 设,函数.
(1)当时,求函数的单调增区间;
(2)若时,不等式恒成立,实数的取值范围
参考答案:
22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知圆上的,过C点的圆的切
线与BA的延长线交于E点.
(Ⅰ)求证:∠ACE=∠BCD;
(Ⅱ)若BE=9,CD=1,求BC的长.
参考答案:
(Ⅰ).………………(2分)
又为圆的切线,.……………(5分)
(Ⅱ)为圆的切线,∴,
由(Ⅰ)可得,……………………………………(7分)
∴△∽△,∴,∴=3.…………………
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