浙江省金华市佛堂镇中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

浙江省金华市佛堂镇中学2022年高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，若是的最小值，则的取值范围为 A．          B．      C．      D． 参考答案： D 试题分析：由于当时，在时得最小值；由题意当时， 若，此时最小值为，故，解得，由于，因此；若 ，则条件不成立，故的取值范围为，故答案为D． 考点：1、分段函数的应用；2、函数的最值． 2. 设集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件                  B．必要不充分条件 C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 3. 已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数y=f（x）图象的对称轴方程； （2）讨论函数f（x）在上的单调性． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得ω，可得其解析式，利用正弦函数的图象的对称求得函数y=f（x）图象的对称轴方程． （2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在上的单调性． 【解答】解：（1）∵，且T=π，∴ω=2． 于是，令，得， 即函数f（x）的对称轴方程为． （2）令，得函数f（x）的单调增区间为． 注意到，令k=0， 得函数f（x）在上的单调增区间为； 同理，求得其单调减区间为． 4. 已知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，．设，，，则(    ) A． B． C． D． 参考答案： B 根据题意，满足对任意，，， 则函数在上为增函数， 又由是偶函数，则， 又由，则． 5. 读程序框图，若输入x=1，则输出的S=（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． ﹣1 参考答案： C 6. 设全集U=R，集合，，则等于（    ）        A．                             B．         C．                                 D． 参考答案： D 略 7. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案： D 略 8. 若x，y满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 参考答案： C 试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C. 考点：线性规划. 【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值. 9. 一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图 是半径为1的半圆，则该几何体的体积是   A.       B.        C.         D. 参考答案： D 10. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（      ） A. 62               B. 66               C. 68               D. 74 参考答案： B 解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下： 将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。 如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.          . 参考答案： ，根据积分的几何意义可知等于半径为1的半圆的面积，即，，所以. 12. 已知集合,,则      ． 参考答案： ，所以. 13. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________________ 参考答案： 或 ，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以，即的取值范围是。 14. 若复数是纯虚数，则实数的值为____________。 参考答案： 2 15. 设,一元二次方程有正数根的充要条件是=       . 参考答案： 3或4 略 16. 设满足约束条件， 若目标函数的最大值为12，则的最小值为___    ． 参考答案： 17. __________ 参考答案： 2π  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）． （1）求椭圆方程； （2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程． （2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可． 【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1 所以椭圆C的方程是…（4分） （2）当k变化时，m2为定值，证明如下： 由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…（6分） 设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（?）  …（7分） ∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2， ∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…（9分） 将（?）代入得：m2=，…（11分） 经检验满足△＞0．…（12分） 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用． 19. （18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 。 （1）求； （2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为； （3）求数列的通项公式。 参考答案： ⑴  ； ⑵ ① 任意，设，则，即 ② 假设（矛盾），∴  ∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。 ⑶ ， ，， ∵  ∴ 当时，依次有，…… ∴ 。 20. （本小题满分14分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围； （Ⅲ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围 参考答案： 【知识点】导数的应用；恒成立问题.    B12 【答案解析】（Ⅰ）当x=2时，函数取得极大值；（Ⅱ）； （Ⅲ）.  解析：（Ⅰ）当时，（x>0）, , 由解得02， 故当在（0,2）上单调递增；在（2，）上单调递减. 所以当x=2时，函数取得极大值.-------------4分 （Ⅱ），∵函数在区间上单调递减， ∴在区间上恒成立，即在上恒成立， 只需2a不大于在上的最小值即可．--------8分 而，则当时，， ∴，即，故实数a的取值范围是．-------10分 （Ⅲ）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可． 由， （ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减， 故成立． （ⅱ）当时，由， 令，得或， ①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件； ②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件． （ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立.--------- 14分 综上得: a的取值范围是 【思路点拨】（Ⅰ）利用导数求此函数的极值；（Ⅱ）利用导数转化为不等式恒成立问题再用分离常数法确定a的范围；（Ⅲ）即当时，不等式恒成立，即恒成立，然后构造函数，再利用导数求得a的取值范围. 21. 已知函数． （Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求得函数f（x）的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），… （1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1 故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）… （2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）… （Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立． 令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，… 求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx） 当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0 ∴φ（x）的最小值为， 由得，故当时，f（x）≤x恒成立，… 当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，… 当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，… 综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．… 22. （本小题满分12分）某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息： 统