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河北省保定市里村中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (04年全国卷III)在中,,则边上的高为( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:B
2. 如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
D
受三视图的启发,据三视图,想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为:在一个水平横放的底面半径为2,高为4的圆柱中,在其前方、上侧的右侧挖去,余下的部分. 所以该几何体的体积为.选D.
3. 集合,集合Q=,则P与Q的关系是( )
P=Q B.PQ C. D.
参考答案:
C
4. 用若干个体积为1的小正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形,用这个几何体的最小体积值作为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积, 则这个正方体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 若复数z满足=1+i,i是虚数单位,则z=( )
A.2-2i B.1-2i C.2+i D.1+2i
参考答案:
B
略
6. 若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,△ABC的面,则a= ()
A. 1 B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据三角形面积公式可得,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.
【详解】因为,,面积,所以.所以.所以,.所以.故选A.
【点睛】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题.
7. 已知,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
由,代入已知式子中,可求出,再结合即可求解.
【详解】解: ,
即.又
,
故选:D.
【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.
8. 六名大四学生(其中4名男生、2名女生)被安排到A、B、C三所学校实习,每所学校2人,且2名女生不到同一学校,也不到C学校,男生甲不到A学校,则不同的安排方法共有( )
A.24 B.36 C.16 D.18
参考答案:
D
【考点】D8:排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,分4步进行分析:①、2名女生在A、B学校个一人,②、A学校除男生甲之外选男生一人,③、B学校在剩余男生中选一人,④、C学校2名男生,分别求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,要求六名学生被安排到A、B、C三所学校实习,每所学校2人,且2名女生不到同一学校,也不到C学校,男生甲不到A学校,
只能安排2名女生在A、B学校各一人,有A22=2种安排方法,
A学校除男生甲之外选男生一人,有C31=3种安排方法,
B学校在剩余男生中选一人,有C31=3种安排方法,
C学校选剩余的2名男生,有1种情况,
则不同的安排方法有2×3×3×1=18种安排方法;
故选:D.
【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意分析题目中的限制条件,注意受到限制的元素的处理方法.
9. 等差数列{an}前n项和为Sn,满足S20=S40,则下列结论中正确的是( )
A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值
C.S30=0 D.S60=0
参考答案:
D
10. 已知方程有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量=(﹣3,2),=(﹣1,0),且向量与垂直,则实数λ的值为 .
参考答案:
考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系.
专题:平面向量及应用.
分析:由向量的基本运算可得与的坐标,再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0,解之即可.
解答: 解:由题意=(﹣3λ﹣1,2λ),=(﹣1,2)
∵与垂直,∴=(﹣3λ﹣1)(﹣1)+2λ×2
=7λ+1=0,解得,
故答案为:
点评:本题为向量的基本运算,掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键,属基础题.
12. 若曲线表示双曲线,则的取值范围是 。
参考答案:
13. 如图,边长为l的菱形ABCD中,DAB=60o,,则 。
参考答案:
14. 对任意实数,.若不等式恒成立,则实数的最小值为
参考答案:
略
15. 若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.
参考答案:
0
16. 已知圆:,直线:,设圆上到直线的距离等于1的点的个数为,则
参考答案:
4
17. 设函数其中若存在唯一的整数使得,则的取值范围是
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=n2﹣3n.
(I)求数列{an}的通项公式an;
(II)设bn=,数列{bn}的前n项和Tn(n∈N*),当Tn>时,求n的最小值.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(I)利用公式an=Sn﹣Sn﹣1得出通项公式,再验证n=1是否成立即可;
(2)化简bn,使用裂项法求和,解不等式得出n的范围即可.
【解答】解:(I)∵Sn=n2﹣3n.
∴当n=1时,S1=12﹣3×1=﹣2,即 a1=﹣2,
当n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)2﹣3(n﹣1)=n2﹣5n+4
∴an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4,
显然,n=1时,2n﹣4=﹣2=a1也满足上式,
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣4.
(II)bn===﹣,
∴Tn=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣=.
令>得 n>2016,
∵n∈N*,故n的最小值为2017.
19. 如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD的交点为G,AD⊥平面ABE,AE⊥EB,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥CE.
(Ⅰ) 求证:AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求三棱锥C﹣GBF的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【专题】综合题;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)利用线面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABE,可得BC⊥AE.再利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)由三角形的中位线定理可得:FG∥AE,.利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE.再利用“等体积变形”即可得出VC﹣GBF=VG﹣BCF计算出即可.
【解答】(I)证明:∵AD⊥面ABE,AD∥BC,
∴BC⊥面ABE,AE?平面ABE,
∴AE⊥BC.…
又∵AE⊥EB,且BC∩EB=B,∴AE⊥面BCE.…
(II)解:∵在△BCE中,EB=BC=2,BF⊥CE,
∴点F是EC的中点,且点G是AC的中点,…
∴FG∥AE且. …
∵AE⊥面BCE,∴FG⊥面BCE.
∴GF是三棱锥G﹣BFC的高 …
在Rt△BCE中,EB=BC=2,且F是EC的中点
.…
∴.…
【点评】本题中考查了线面垂直的判定定理和性质定理、三角形的中位线定理、三棱锥的体积计算公式及“等体积变形”等基础知识和基本技能,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.
20. 已知函数
(I)当时,求的解集;
(II)若不等式的解集包含,求a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当a=1时,不等式即 f(x)=|x﹣1|≥|x+1|+1,
即|x﹣1|﹣|x+1|≥1.
由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离,
由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1,
故不等式的解集为 …………5分
(Ⅱ)不等式f(x)+3x≤0,即|x﹣a|+3x≤0,即|x﹣a|≤﹣3x(x≤0),
即 3x≤x﹣a≤﹣3x,求得 x≤﹣,且x≤.
当a≥0时,可得它的解集为{x|x≤﹣};再根据它的解集包含{x|x≤﹣1},
可得﹣≥﹣1,求得a≤2,故有0≤a≤2.
当a<0时,可得它的解集为{x|x≤};再根据它的解集包含{x|x≤﹣1},
可得≥﹣1,求得a≥﹣4,故有﹣4≤a<0.
综上可得,要求的a的取值范围为[0,2]∪[﹣4,0)= [﹣4,2].
…………10分
法二:不等式f(x)+3x≤0,即|x﹣a|+3x≤0,即|x﹣a|≤﹣3x(x≤0),
即 3x≤x﹣a≤﹣3x即在上恒成立
所以有即
…………10分
21. (本小题满分13分)已知暗箱中开始有3个红球,2个白球(所有的球除颜色外其它均相同).现每次从暗箱中取出一个球后,再将此球以及与它同色的5个球(共6个球)一起放回箱中.
(I)求第二次取出红球的概率;
(II)求第三次取出自球的概率;
(Ⅲ)设取出白球得5分,取出红球得8分,求连续取球3次得分的分布列和数学期望.
参考答案:
22. (12分)已知△ABC的周长为+1,且sinA+sinB=sinC
(I)求边AB的长;
(Ⅱ)若△ABC的面积为sinC,求角C的度数.
参考答案:
考点: 正弦定理;余弦定理.
专题: 计算题.
分析: (I)先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系,进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB.
(2)由△ABC的面积根据面积公式求得BC?AC的值,进而求得AC2+BC2,代入余弦定理即可求得cosC的值,进而求得C.
解答: 解:(I)由题意及正弦定理,得AB+BC+AC=+1.BC+AC=AB,
两式相减,得:AB=1.
(Ⅱ)由△ABC的面积=BC?ACsinC=sinC,得
BC?AC=,
∴AC2+BC2=(AC+BC)2﹣2AC?BC=2﹣=,
由余弦定理,得,
所以C=60°.
点评: 本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识.此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握,并能运用它们灵活地进行边与角的转化,解三角形问题也是每年高考的一个重点,但难度一般不大,是高考的一个重要的得分点.
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