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江西省景德镇市第二高级职业中学高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC中,,,为AB边上的中点,则 ( )
A. 0 B. 25 C. 50 D. 100
参考答案:
C
【分析】
三角形为直角三角形,CM为斜边上的中线,故可知其长度,由向量运算法则,对式子进行因式分解,由平行四边形法则,求出向量,由长度计算向量积.
【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形,CM为斜边上的中线,所以,
原式=.
故选C.
【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积,数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量,但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.
2. 已知函数,若关于x的方程f(x)=k有三个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣4) B.[﹣4,﹣3] C.(﹣4,﹣3] D.[﹣3,+∞)
参考答案:
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出函数的图象,结合图象,能求出实数k的取值范围.
【解答】解:作出函数的图象,如下图:
∵关于x的方程f(x)=k有三个不等的实根,
∴函数的图象与直线y=k在三个不同的交点,
结合图象,得:﹣4<k≤﹣3.
∴实数k的取值范围是(﹣4,﹣3].
故选C.
3. 等比数列的首项,公比,用表示它的前n项之积。则最大的是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
4. 判断下列各命题的真假:
(1)向量的长度与向量的长度相等;
(2)向量与向量平行,则与的方向相同或相反;
(3)两个有共同起点的而且相等的向量,其终点必相同;
(4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
(5)向量和向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上;
(6)有向线段就是向量,向量就是有向线段.
其中假命题的个数为( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
参考答案:
C
5. 设x,y满足约束条件则目标函数的最大值是
A.3 B.4 C. 6 D.8
参考答案:
C
略
6. 若集合,,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积是( )
A.
30+6
B.
28+6
C.
56+12
D.
60+12
参考答案:
A
8. 设函数f(x)=(x-1)2+n,(x∈[-1,3],n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,则cn=b-anbn是( )
A.公差不为零的等差数列
B.公比不为1的等比数列
C.常数列
D.既不是等差也不是等比数列
参考答案:
A
∵f(x)=(x-1)2+n,x∈[-1,3],n∈N*,
∴an=f(1)=n,bn=f(-1)=f(3)=n+4.
∴cn=b-anbn=bn(bn-an)=4(n+4).
∴cn+1-cn=4.
∴{cn}是公差不为零的等差数列.
9. 设a,m,n是三条不同的直线,,是两个不重合的平面,给定下列命题:
①;②;③;
④;⑤;⑥.
其中为真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
【分析】
根据课本的判定定理以及推论,和特殊的例子,可判断正误.
【详解】对于①,错误,n可以在平面内;对于②,是错误的,根据线面垂直的判定定理知,当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候,才能推出线面垂直;对于③根据课本推论知其结果正确;④直线m和n可以是异面的成任意夹角的两条直线;对于⑤根据课本线面垂直的判定定理得到其正确;对于⑥是错误的,当直线m与直线n,和平面平行并且和平面垂直,此时两条直线互相平行.
故答案为:B
【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系,面面垂直,线面垂直的判定等,对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除,判断。还可以画出样图进行判断,利用常见的立体图形,将点线面放入特殊图形,进行直观判断。
10. 函数的零点所在区间为( )
A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
参考答案:
B
【考点】二分法求方程的近似解.
【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】确定函数的定义域为(0,+∞)与单调性,再利用零点存在定理,即可得到结论.
【解答】解:函数的定义域为(0,+∞),易知函数在(0,+∞)上单调递增,
∵f(2)=log32﹣1<0,f(3)=log33﹣>0,
∴函数f(x)的零点一定在区间(2,3),
故选:B.
【点评】本题考查函数的单调性,考查零点存在定理,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列{an}的a1=,an+1=,{an}的通项公式是 .
参考答案:
an=
【考点】8H:数列递推式.
【分析】由an+1=,两边取倒数可得: =+,变形为:﹣1=(﹣1),利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:由an+1=,两边取倒数可得: =+,
变形为:﹣1=(﹣1),
∴数列{﹣1}是等比数列,首项为,公比为.
∴﹣1=.
∴an=.
故答案为:an=.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12. 函数y=-1 + 3 sin2x的最大值是 .
参考答案:
2
略
13. 已知函数.若时,恒成立.则实数的取值范围 .
参考答案:
或
14. 已知实数,是与的等比中项,则的最小值是______.
参考答案:
【分析】
通过是与的等比中项得到,利用均值不等式求得最小值.
【详解】实数是与的等比中项,
,解得.
则,当且仅当时,即时取等号.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等比中项,均值不等式,1的代换是解题的关键.
15. 若θ为第四象限的角,且sinθ=﹣,则cosθ= ;sin2θ= .
参考答案:
,﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ,进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值.
【解答】解:∵θ为第四象限的角,且,
∴cosθ==,
sin2θ=2sinθcosθ=2×(﹣)×=﹣.
故答案为:,﹣.
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.
16. 在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AB⊥BC,CD⊥BD,如图(1)把△ABD沿BD翻折,使得平面A'BD⊥平面BCD,如图(2).则三棱锥A'﹣BDC的体积为
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】过A'做A'E⊥BD,垂足为E,则可证A'E⊥平面BDC,利用勾股定理和三角形相似求出A'E,BD,CD的值,代入棱锥的体积公式计算即可.
【解答】解:过A'做A'E⊥BD,垂足为E,
∵平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,A'E?平面A'BD,
∴A′E⊥平面BCD,
∵在直角梯形ABCD中,,∴BD=2,
∴AE==,
∵BD⊥CD,∴tan∠DBC=tan∠ADB,
∴,∴CD=.
∴VA′﹣BDC==.
故答案为.
【点评】本题考查了面面垂直的性质,棱锥的体积计算,属于中档题.
17. 已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是___________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.
参考答案:
(1,4) ;
分析:根据分段函数,转化为两个不等式组,分别求解,最后求并集.先讨论一次函数零点的取法,再对应确定二次函数零点的取法,即得参数的取值范围.
详解:由题意得或,所以或,即,不等式f(x)<0的解集是
当时,,此时,即在上有两个零点;当时,,由在上只能有一个零点得.综上,的取值范围为.
点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,1)和(1,4),且对于任意的实数x,不等式f(x)≥4x恒成立.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)设g(x)=kx+1,若F(x)=g(x)﹣f(x),求F(x)在[1,2]上的最小值;
(3)设g(x)=kx+1,若G(x)=在区间[1,2]上是增函数,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)利用题意,推出混合组,求出a、b、c,即可求函数f(x)的表达式;
(2)化简函数F(x)=g(x)﹣f(x)的表达式,通过对称轴所在位置,讨论即可求F(x)在[1,2]上的最小值
(3)通过化简表达式,在区间[1,2]上是增函数,转化F(x)=﹣x2+(k﹣2)x在[1,2]上为增函数且恒非负,得到不等式组,即可求实数k的取值范围.
【解答】解:(1)由题意知…(4分)
(2)F(x)=g(x)﹣f(x)=﹣x2+(k﹣2)x,x∈[1,2],对称轴
当,即k≤5时,F(x)max=F(2)=2k﹣8
当,即k>5时,F(x)max=F(1)=k﹣3
综上所述,…(8分)
(3),
由G(x)在区间[1,2]上是增函数得F(x)=﹣x2+(k﹣2)x在[1,2]上为增函数且恒非负
故…(10分)
【点评】本题考查函数恒成立问题的应用,函数的单调性以及函数的解析式的求法,考查计算能力.
19. (10分)已知函数f(x)=2sinx?cosx+cos2x﹣sin2x﹣1(x∈R)
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈,求f(x)的值域.
参考答案:
考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 利用倍角公式、两角和的正弦化简.
(1)直接利用复合函数的单调性求得函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)由x得范围,求得相位的范围,然后可得f(x)的值域.
解答: 解:f(x)=2sinx?cosx+cos2x﹣sin2x﹣1
==
=.
(1)由,得.
∴函数y=f(x)的单调递增区间为;
(2)当x∈时,,
则f(x)∈.
点评: 本题考查了倍角公式、两角和的正弦,考查了与三角函数有关的简单的复合函数的单调性,考查了三角函数值域的求法,是基础题.
20. 已知集合A={x|x≤﹣3或x≥2},B={x|1<x<5},C={x|m﹣1≤x≤2m}
(Ⅰ)求A∩B,(?RA)∪B;
(Ⅱ)若B∩C=C,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】(I)根据定义,进行集合的交、并、
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