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江西省宜春市大段中学高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 计算= ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
2. 面积为Q的正方形,绕其一边旋转一周,则所得几何体的侧面积为( )
A.πQ B.2πQ C.3πQ D.4πQ
参考答案:
B
【考点】L@:组合几何体的面积、体积问题.
【分析】绕其一边旋转一周,得到底面半径等于高为的圆柱,求出底面周长,然后求出侧面积.
【解答】解:面积为Q的正方形,边长为:;绕其一边旋转一周,得到底面半径为:,高为的圆柱,底面周长2,
几何体的侧面积:2×=2πQ
故选B.
3. 如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A. B.
. C. D.
参考答案:
C
5. 不等式的解集是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 若,则的终边在( )
A. 第一或第二象限 B. 第一或第三象限 C. 第一或第四象限 D. 第二或第四象限
参考答案:
D
【分析】
分,和,两种情况讨论得解.
【详解】若,,则的终边在第二象限;
若,,则的终边在第四象限,
故选:D.
【点睛】本题主要考查三角函数在各象限的符号,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7. 设, ,,,则下列结论正确的是 ( )
A.且 B.且
C.且 D.且
参考答案:
B
略
8. 某学校有教职员工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,现在用分层抽样抽取30人,则样本中各职称人数分别为( )
A.5,10,15 B.3,9,18 C.3,10,17 D.5,9,16
参考答案:
B
9. 已知函数f(x)满足当x2>x1>1时,恒成立,且f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,设a=f(-1),b=f(2),c=f(4),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c
参考答案:
D
10. sin的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. .
参考答案:
12. 若,全集,则_______.
参考答案:
略
13. 若曲线与直线始终有交点,则b的取值范围是_______.
参考答案:
由题设可知有解,即有解,令借,则,所以,由于,故,结合正弦函数的图像可知,则,应填答案。
点睛:解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程有解,进而分离参数,然后通过三角换元将其转化为求函数的值域问题,最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解。
14. 在△ABC中,若,则边AB的长等于___________.
参考答案:
2
由向量的数量积定义,得,
即由余弦定理,得
,即边AB的长等于
15. 已知关于x的不等式(x﹣1)(x﹣2a)>0(a∈R)的解集为A,集合B=(2,3).若B?A,则a的取值范围为 .
参考答案:
(﹣∞,1]
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】对a分类讨论,利用不等式的解法、集合之间的基本关系即可得出.
【解答】解:关于x的不等式(x﹣1)(x﹣2a)>0(a∈R)的解集为A,
①2a≥1时,A=(﹣∞,1)∪(2a,+∞),∵B?A,∴2a≤2,联立,解得.
②2a<1时,A=(﹣∞,2a)∪(1,+∞),满足B?A,由2a<1,解得a.
综上可得:a的取值范围为(﹣∞,1].
故答案为:(﹣∞,1].
16. 运行如图所示的算法流程图,则输出的值为 .
参考答案:
41
17. 数列的前项和,则它的通项公式是__________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆C:x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q(﹣2,3).
(1)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若实数m,n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0,求k=的最大值和最小值.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)求出|QC|,即可求|MQ|的最大值和最小值;
(2)由题意,(m,n)是圆C上一点,k表示圆上任意一点与(﹣2,3)连线的斜率,设直线方程为y﹣3=k(x+2),直线与圆C相切时,k取得最值.
【解答】解:(1)圆C:x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为(x﹣2)2+(y﹣7)2=8,圆心坐标为C(2,7),半径r=2,
|QC|==4,|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4=2;
(2)由题意,(m,n)是圆C上一点,k表示圆上任意一点与(﹣2,3)连线的斜率,
设直线方程为y﹣3=k(x+2),直线与圆C相切时,k取得最值,即=2,
∴k=2,
∴k的最大值为2+,最小值为2﹣.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题.
19. 已知集合
(I)求集合;
(II)若,求实数的值。
参考答案:
见解析
【知识点】集合的运算
【试题解析】(I)A=
(II)因为,所以a=3或2a-1=3.
当a=3时,2a-1=5,此时B={2,3,5},符合题意;
当2a-1=3,a=2时,不符合集合中元素的互异性特征,故舍去。
综上:a=3
20. 已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程; (写一般式)
(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.
参考答案:
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】(1)先求出圆的圆心坐标,从而可求得直线l的斜率,再由点斜式方程可得到直线l的方程,最后化简为一般式即可.
(2)先根据点斜式方程求出方程,再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离,进而根据勾股定理可求出弦长.
【解答】解:(1)圆C:(x﹣1)2+y2=9的圆心为C(1,0),
因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,
直线l的方程为y=2(x﹣1),即2x﹣y﹣2=0.
(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,
直线l的方程为y﹣2=x﹣2,即x﹣y=0
圆心C到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为.
21. (本小题10分)已知正方体,是底对角线的交点.
求证:(1)∥面;
(2 )面.
参考答案:
22. (10分)已知向量=(1,2),=(﹣3,4).
(1)求+与﹣的夹角;
(2)若满足⊥(+),(+)∥,求的坐标.
参考答案:
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】(1)求得+与﹣的坐标,利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义,求得cosθ的值,可得与的夹角θ的值.
(2)根据两个向量垂直、平行的性质,求得的坐标.
【解答】解:(I)∵,∴,∴,
∴,∴,∴.
设与的夹角为θ,则.
又∵θ∈[0,π],∴.
(II)设,则,∵⊥(+),(+)∥,∴,
解得:,即.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算法则,两个向量垂直、平行的性质,属于基础题.
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