河南省商丘市马牧中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

河南省商丘市马牧中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(  ) A．     B．     C．     D． 参考答案： 2. 已知D是中边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足，则 的最小值为（    ）     A.   3             B.5            C.6          D.4 参考答案： D 略 3. 使N展开式中含有常数项的的最小值是 (A)              (B)             (C)                (D) 参考答案： C ，令＝0，得，所以的最小值是5 4. 已知函数则                                A．            B．             C．              D． 参考答案： B 5. 已知是虚数单位. 若＝，则 A. B.   C. D. 参考答案： A 6. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距 离之和等于5,则这样的直线                                 A．有且仅有一条   B．有且仅有两条   C．有无穷多条     D．不存在 参考答案： B 略 7. 已知长方体ABCD – A1B1 Cl D1的各个顶点都在表面积为16的球面上，且AB =AD，AA1=2AD，则D1-ABCD的体积为 A．    B． C．    D．   参考答案： B 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积 设AD=x，长方体的外接球的半为R， 则AD2+AB2+=（2R2），4πR2=16π， ∴x2+(x)2+（2x）2=4R2，R2=4．化为8x2=16，解得x=， ∴四棱锥D1-ABCD的体积V=AA1?SABCD=×2×x2=． 故选：B． 【思路点拨】设AD=x，长方体的外接球的半为R，利用AD2+AB2+=（2R2），4πR2=16π，解出x，R，再利用四棱锥的体积计算公式即可得出．   8. 已知的取值范围是（   ） A.             B.       C.            D. 参考答案： 9. （5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　） 　 A． 2个 B． 4个 C． 6个 D． 8个 参考答案： C 【考点】： 元素与集合关系的判断． 【专题】： 集合． 【分析】： 根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可． 解：根据好元素的定义，由S的3个元素构成的集合中，不含好元素的集合为： {1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}． 故选C． 【点评】： 考查对好元素概念的理解，以及子集的概念，元素与集合的关系． 10. 若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的 A．必要而不充分条件             B．充分而不必要条件 C．充要条件             D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）（不等式选做题）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，1）∪{3} 【考点】： 绝对值不等式的解法． 【专题】： 计算题；不等式的解法及应用． 【分析】： 不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立转化为a+小于等于函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题． 【解答】： 解：令y=|x+2|+|x﹣3|， 由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5， ∵不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立， ∴原不等式可化为a+≤5， 解得a=3或a＜1， 故答案为：（﹣∞，1）∪{3}． 【点评】： 考查绝对值不等式的几何意义，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属中档题． 12. 记为一个位正整数，其中都是正整数，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为．____________． 参考答案： 252 略 13. 数列是以1024为首项，为公比的等比数列，则数列的前n项和的最大值为       参考答案： 略 14. 由直线与曲线所围成的封闭图形的两积为_____． 参考答案： 15. A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B=　　． 参考答案： {（﹣1，3）} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】联立A与B中两方程，求出方程组的解即可确定出两集合的交集． 【解答】解：由A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}， 联立得：， 解得：， 则A∩B={（﹣1，3）}． 故答案为：{（﹣1，3）} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 16. （07年宁夏、 海南卷文）已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　． 参考答案： 答案： 解析：          17. 如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为____________.   参考答案： 试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为所以函数与轴围成的部分的面积为，所以阴影部分的面积为. 考点：定积分的应用. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为，。 (1)求曲线C的极坐标方程； (2)已知β为锐角，直线l：θ＝β与曲线C的交点为A(异于极点)，l与曲线M的交点为B，若，求l的直角坐标方程。 参考答案： 19. 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16 （1）从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“均不小于25”的概率； （2） 若由线性回归方程得到的估计数据与4月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的. 请根据4月7日，4月15日与4月21日这三天的数据，求出关于的线性回归方程，并判定所得的线性回归方程是否可靠？ 参考公式: ， 参考数据: 参考答案： (Ⅰ)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个．                            ………2分 设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个，故由古典概型概率公式得P(A)＝.                                     ………5分 (Ⅱ) 由题意得 且 所以 ， 所以关于的线性回归方程                                    ………9分 且 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， . 所以所得到的线性回归方程是可靠的.                                   ………12分 20. （本小题满分12分） 如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）． （Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大； （Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在 棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．                       第19题图 参考答案： （Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则． 由，知，△为等腰直角三角形，所以. 由折起前知，折起后（如图2），，，且， 所以平面．又，所以．于是                 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当，即时, 三棱锥的体积最大．                   解法2： 同解法1，得．   令，由，且，解得． 当时，；当时，． 所以当时，取得最大值． 故当时, 三棱锥的体积最大．                            （Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系． 由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，． 于是可得，，，，，， 且． 设，则. 因为等价于，即 ，故，. 所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．    设平面的一个法向量为，由 及， 得 可取． 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ，即． 故与平面所成角的大小为                                   解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，． 如图b，取的中点，连结，，，则∥. 由（Ⅰ）知平面，所以平面. 如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形， 所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥， 所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以. 因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的. 即当（即是的靠近点的一个四等分点），．       连接，，由计算得， 所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d所示，取的中点，连接，， 则平面．在平面中，过点作于， 则平面．故是与平面所成的角． 在△中，易得，所以△是正三角形， 故，即与平面所成角的大小为                    21. 已知中，，，. （Ⅰ）求边的长； （Ⅱ）设是边上一点，且的面积为，求的正弦值. 参考答案： （Ⅰ）; （Ⅱ）. （Ⅱ）由已知得 ，所以.在中， 由余弦定理得 ，， 再由正弦定理得，故. 22. 已知函数. （I）求函数的单调递增区间； （II）若，求的值. 参考答案： （I）. .                                   ………3分 由，解得. 所以函数的单调递增区间为.                  ………5分 （II）由，得.      又，.                                ………7分 .            ………10分