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2022年辽宁省鞍山市第二十六高级中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量向量若为的最小正周期,且则
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
D
略
2. 若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 下列函数中,与函数有相同定义域的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
4. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,,,则直线PB与平面PCD所成角的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
取中点,中点,连接,先证明为所求角,再计算其大小.
【详解】取中点,中点,连接.
设
易知:平面
平面
易知:四边形为平行四边形平面,即为直线与平面所成角
故答案选A
【点睛】本题考查了线面夹角,先找出线面夹角是解题的关键.
5. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 下列各组函数是同一函数的是( )
①与;
②f(x)=|x|与;
③f(x)=x0与g(x)=1;
④f(x)=x2﹣2x﹣1与g(t)=t2﹣2t﹣1.
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
参考答案:
C
【考点】判断两个函数是否为同一函数.
【专题】常规题型.
【分析】①与定义域相同,但是对应法则不同;②f(x)=|x|与)=|x|与g(x)是同一函数;③f(x)=x0与g(x)=1定义域不同;④f(x)=x2﹣2x﹣1与g(t)=t2﹣2t﹣1.函数与用什么字母表示无关,只与定义域和对应法则有关.
【解答】解:①与的定义域是{x:x≤0};而①=﹣x,故这两个函数不是同一函数;
②f(x)=|x|与的定义域都是R,=|x|,这两个函数的定义域相同,对应法则也相同,故这两个函数是同一函数;
③f(x)=x0的定义域是{x:x≠0},而g(x)=1的定义域是R,故这两个函数不是同一函数;
④f(x)=x2﹣2x﹣1与g(t)=t2﹣2t﹣1.是同一函数.
故C正确.
【点评】判断两个函数是否为同一函数的关键是要看定义域和对应法则,只有两者完全一致才能说明这两个函数是同一函数.属基础题.
7. 设是定义在上的奇函数,当时,(为常数),则( )
参考答案:
C
8. 若,则的值为_________.
参考答案:
1
略
9. 设(a>0,a≠1),对于任意的正实数x,y都有( )
A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(x+y)=f(x)f(y)
C.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
参考答案:
C
略
10. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},则=( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5}
参考答案:
A
,则,故选A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数定义域为,若满足①在内是单调函数②存在使在上的值域为,那么就称为“希望函数”,若函数是“希望函数”,则的取值范围为__________;
参考答案:
略
12. 函数的定义域为______.
参考答案:
【分析】
根据二次根式及分式成立的条件,即可求得函数的定义域.
【详解】函数
所以自变量的取值满足
解不等式组可得
即
故答案为:
【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.
13. 函数的定义域为 .
参考答案:
14. 求值: = .
参考答案:
19
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题.
【分析】根据式子的特点需要把底数和真数表示成幂的形式,把对数前的系数放到真数的指数位置,利用恒等式
,进行化简求值.
【解答】解:原式=9﹣3×(﹣3)+=18+1=19,
故答案为:19.
【点评】本题的考点是对数和指数的运算性质的应用,常用的方法是把(底数)真数表示出幂的形式,或是把真数分成两个数的积(商)形式,根据对应的运算法则和“”进行化简求值.
15. (5分)已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,则下列四个命题:
①α∥β?l⊥m;
②α⊥β?l∥m;
③l∥m?α⊥β;
④l⊥m?α∥β
其中正确命题的序号是 .
参考答案:
①③
考点: 平面的基本性质及推论.
专题: 计算题.
分析: 直线l⊥平面α,直线m?平面β,当α∥β有l⊥m,当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交,当l∥m有α⊥β,当l⊥m有α∥β或α∩β,得到结论
解答: 直线l⊥平面α,直线m?平面β,
当α∥β有l⊥m,故①正确
当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交,故②不正确
当l∥m有α⊥β,故③正确,
当l⊥m有α∥β或α∩β,故④不正确,
综上可知①③正确,
故答案为:①③
点评: 本题考查平面的基本性质即推论,本题解题的关键是看出在所给的条件下,不要漏掉其中的某一种位置关系,本题是一个基础题.
16. 关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是 .
参考答案:
17. 有下列命题:
①函数f(﹣x+2)与y=f(x﹣2)的图象关于y轴对称
②若函数f(x)=ex,则对任意的x1,x2∈R,都有
③若函数f(x)=loga|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增,则f(﹣2)>f(a+1)
④若函数f(x+2013)=x2﹣2x﹣1(x∈R),则函数的最小值为﹣2
其中正确的序号是 .
参考答案:
②④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①令t=﹣x+2,知y=f(t)与y=f(﹣t)的图象关于y轴对称,从而得出y=f(﹣x+2)与y=f(x﹣2)的图象的对称性;
②利用作商法,结合基本不等式,判定是否成立即可;
③由函数f(x)的单调性与奇偶性判定命题是否正确;
④利用换元法求出函数f(x)的解析式,再求出f(x)的最小值,即可判定命题是否正确.
【解答】解:①设t=﹣x+2,∴x﹣2=﹣t,
∴函数化为y=f(t)与y=f(﹣t),
两函数图象关于直线t=0对称,
由t=﹣x+2=0得:x=2,
∴y=f(﹣x+2)与y=f(x﹣2)的图象关于直线x=2对称;
∴命题①错误;
②∵f(x)=ex,对任意的x1,x2∈R,
有=
=+≥2
=2×=1,
∴,
∴命题②正确;
③当函数f(x)=loga|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增时,
a>1,∴a+1>2,
∴f(a+1)>f(2);
又f(﹣2)=f(2),
∴f(a+1)>f(﹣2);
∴命题③错误;
④∵函数f(x+2013)=x2﹣2x﹣1(x∈R),
设x+2013=t,则x=t﹣2013;
∴f(t)=(t﹣2013)2﹣2(t﹣2013)﹣1
=(t﹣2013﹣1)2﹣1﹣1
=(t﹣2014)2﹣2,
即f(x)=(x﹣2014)2﹣2;
∴函数f(x)的最小值为﹣2,
∴命题④正确;
综上知,正确命题的序号是②④;
故答案为:②④.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
函数在内只取到一个最大值和一个最小值,且当时,;当时,.
(Ⅰ) 求出此函数的解析式;
(Ⅱ) 求该函数的单调递增区间.
参考答案:
(Ⅰ)由已知得,,
且得,
所以,
将代入函数解析式得,且,
所以,即.
(Ⅱ)由题得
所以函数的递增区间为
19. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点.
(Ⅰ)证明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.
参考答案:
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得S△A1DE的值,再根据三棱锥C-A1DE的体积为?S△A1DE?CD,运算求得结果
试题解析:(1)证明:连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点又D是AB中点,
连结DF,则BC1∥DF. 3分
因为DF?平面A1CD,BC1不包含于平面A1CD, 4分
所以BC1∥平面A1CD. 5分
(2)解:因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1. 8分
由AA1=AC=CB=2,得∠ACB=90°,,,,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为:==1. 12分
考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积
20. △ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论:
①由已知条件,这个三角形被唯一确定;
②△ABC一定是钝角三角形;
③sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3;
④若b+c=8,则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是 .
参考答案:
②③
略
21. (14分)已知函数f(x)=1+﹣xα(α∈R),且f(3)=﹣.
(1)求α的值;
(2)求函数f(x)的零点;
(3)判断f(x)在(﹣∞,0)上的单调性,并给予证明.
参考答案:
考点: 函数零点的判定定理;函数单调性的判断与证明.
专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用.
分析: (1)由题意得,从而解得;
(2)由(1),得,从而可得,从而求得函数的零点;
(3)先可判断函数在(﹣∞,0)上是单调减函数,再由定义法证明函数的单调性.
解答: (1)由,得,
解得α=1.
(2)由(1),得.
令f(x)=0,即,
即,
解得.
经检验,是的根,
所以函数f(x)的零点为.
(3)函数在(﹣∞,0)上是单调减函数.
证明如下:
设x1,x2∈(﹣∞,0),且x1<x2.
,
因为x1<x2<0,所以x2﹣x1>0,x1x2>0.
所以f(x1)﹣f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
所以在(﹣∞,0)上是单调减函数.
点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,属于基础题.
22. (14分)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[﹣5,5]
(1)当a=﹣1时,求函数的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数;
(3)求y=f(x)的最小值.
参考答案:
考点
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