2022年辽宁省大连市庄河第十五初级中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022年辽宁省大连市庄河第十五初级中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果二次函数y=x2+2x+(m-2)有两个不同的零点，则m的取值范围是（     ） A.      B.           C.           D. 参考答案： D 2. 已知函数的图像过点(4,0)和(7,1)，则在定义域上是（  ） A．奇函数         B．偶函数       C.减函数         D．增函数 参考答案： D 3. 不等式所表示的平面区域为M，若M的面积为S，则的最小值为                                                  （    ）        A．30                      B．32                      C．34                      D．64 参考答案： D 4. 函数的定义域为（   ） A.        B.（-2，+∞）    C.      D. 参考答案： C 略 5. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（   ） A．    B．   C．    D． 参考答案： C 6. 如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案． 【解答】解：由已知中的茎叶图得， 甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90； 设污损的数字为x， 则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+， 当x=9，甲的平均数＜乙的平均数， 即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为， 当x=8，甲的平均数=乙的平均数， 即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为， 所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=． 故选：D． 【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目． 7. {1,2, 3}M {1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是                       （   ） A． 8              B． 7            C． 6           D． 5 参考答案： C 略 8. 将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码是003．这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第一营区，从301到495在第二营区，从496到600在第三营区．则三个营区被抽到的人数分别为                                       A．25，17，8      B．25，16，9      C．26，16，8    D．24，17，9 参考答案： A 略 9. 下列不等式中，正确的是(　　) 参考答案： D 　 10. 若是第一象限角，则，，中一定为正值的有（     ） A．3个            B．2个           C．1个            D．0个 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角、、所对的边分别为，且边上的高为，则的最大值是____________。   参考答案： 4 略 12. （4分）化简：=           ． 参考答案： 考点： 向量加减混合运算及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 根据向量减法的定义，我们易将式子化为几个向量相加的形式，然后根据向量加法的法则，即可得到答案． 解答： = = = = = 故答案为： 点评： 本题考查的知识点是微量加减混合运算及其几何意义，其中将式子化为几个向量相加的形式是解答的关键． 13. 已知，，，则x=（   ） A. －2 B. 2 C. D. 参考答案： B 【分析】 直接利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】, , 解得x=2,故选B. 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14. 已知集合，且,则实数a=▲ ；集合A的子集的个数为 ▲ .             参考答案： －1；4  15. 函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]是单调减函数时，a的取值范围　　． 参考答案： （﹣∞，﹣3] 【考点】函数单调性的性质．  【专题】计算题． 【分析】先将函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2转化为：f（x）=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2，明确其对称轴，再由函数在（﹣∞，4]是单调减函数，则对称轴在区间的右侧求解． 【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2 ∴其对称轴为：x=1﹣a 又∵（﹣∞，4]是单调减函数 ∴1﹣a≥4，∴a≤﹣3 故答案为：（﹣∞，﹣3]． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．是基础题． 16. 已知数列是等差数列,且,则      . 参考答案： 17. 化简：        ． 参考答案： 1 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax+1在[﹣1，1]的最大值是14，求a的值． 参考答案： 解：令t=ax（a＞0，a≠1），则原函数转化为y=t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2（t＞0） ①当0＜a＜1时，x∈[﹣1，1]，t=ax∈[a，]， 此时f（x）在x∈[a，]上为增函数，所以f（x）max=f（）=（+1）2﹣2=14   所以a=﹣（舍去）或a=，x∈[﹣1，1]，t=ax∈[a，]， ②当a＞1时此时f（t），t∈[，a]上为增函数，所以f（x）max=f（a）=（a+1）2﹣2=14， 所以a=﹣5（舍去）或a=3， 综上a=或a=3 考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 令t=ax（a＞0，a≠1），则原函数化为y=t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2（t＞0），分类①当0＜a＜1时，②当a＞1时，利用单调性求解即可． 解答： 解：令t=ax（a＞0，a≠1），则原函数转化为y=t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2（t＞0） ①当0＜a＜1时，x∈[﹣1，1]，t=ax∈[a，]， 此时f（x）在x∈[a，]上为增函数，所以f（x）max=f（）=（+1）2﹣2=14   所以a=﹣（舍去）或a=，x∈[﹣1，1]，t=ax∈[a，]， ②当a＞1时此时f（t），t∈[，a]上为增函数，所以f（x）max=f（a）=（a+1）2﹣2=14， 所以a=﹣5（舍去）或a=3， 综上a=或a=3． 点评： 本题考查了指数函数的性质的应用，难度较大，属于中档题，注意复合函数的单调性的运用． 19. 如图，三个同样大小的正方形并排一行． （Ⅰ）求与夹角的余弦值． （Ⅱ）求∠BOD+∠COD． 参考答案： 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题． 【分析】设正方形的边长为1，可得，，，的坐标，（1）cos＜，＞=代入数据计算可得；（2）同理可得cos∠BOD，cos∠COD的值，由平方关系可得sin∠BOD和sin∠COD的值，可得cos（∠BOD+∠COD）的值，结合角的范围可得答案． 【解答】解：设正方形的边长为1，则A（1，1），B（2，1），C（3，1），D（3，0）， 故=（1，1），=（2，1），=（3，1），=（3，0） （1）可得cos＜，＞===， （2）同理可得cos∠BOD===， 故可得sin∠BOD==， cos∠COD===，sin∠COD=， 故cos（∠BOD+∠COD）==， 由角的范围可知∠BOD+∠COD= 【点评】本题考查数量积表示向量的夹角，涉及和差角三角函数，属中档题． 20. （12分）沙市中学“习坎服务部”对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，一个钥匙扣定价5元，且该服务部推出两种优惠活动方式 （1）买一个水杯赠送一个钥匙扣 （2）按购买两种商品的总费用90%付款 若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣x个（不低于4个），试按两种不同优惠方式写出实付款y元关于x的函数关系式，并讨论选择那种购买优惠方式更划算？   参考答案： 由优惠活动方式（1）可得： ，且（定义域不写或写错-1分） 由优惠活动方式（2）可得： ，且（定义域不写或写错-1分） ，故：当时用第一种方案，时两方案一样 时，采用第二种方案   21. 如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD． （1）求证：平面PBC⊥平面PAD； （2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）证明PB⊥平面PAD，即可证明平面PBC⊥平面PAD； （2）若PA=1，在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，证明PE⊥平面ABCD，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积． 【解答】（1）证明：∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB?⊙O所在的平面PAB， ∴AD⊥PB， ∵PA⊥PB，PA∩AD=A， ∴PB⊥平面PAD， ∵PB?平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PAD； （2）解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E， ∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE?⊙O所在的平面PAB， ∴AD⊥PE， ∵AD∩AB=A， ∴PE⊥平面ABCD， 直角△PAB中，AB=2，PA=1， ∴PB=， ∴PE==， ∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==． 【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查四棱锥P﹣ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22. 如图，在梯形ABCD中，，，， （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求数量积的值 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解 【详解】（Ⅰ）因为，所以,, 因此， （Ⅱ） 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.