2022-2023学年重庆吴家海棠中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年重庆吴家海棠中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. sin660°的值是（） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用诱导公式化简求解即可. 【详解】 故选：B 2. 根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间 是（     ） －1 0 1 2 3 0．37 1 2．72 7．39 20．09 1 2 3 4 5    A．（－1，0）        B．（1，2）      C．（0，1）      D．（2，3） 参考答案： D 3. 若| ， 且（）⊥ ，则与的夹角是（     ） A.         B.       C.         D. 参考答案： B 4. 集合A=｛0，1,2｝，B=，则=（     ） A.｛0｝        B.｛1｝         C.｛0，1｝      D.｛0，1,2｝ 参考答案： C 5. 若点（a，b）在函数f（x）=lnx的图象上，则下列点中不在函数f（x）图象上的是（　　） A．（，﹣b） B．（a+e，1+b） C．（，1﹣b） D．（a2，2b） 参考答案： B 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】利用点在曲线上，列出方程，利用对数的运算法则化简，判断选项即可． 【解答】解：因为（a，b）在f（x）=lnx图象上， 所以b=lna，所以﹣b=ln，1﹣b=ln，2b=2lna=lna2， 故选：B． 　 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ） A．在区间上单调递减        B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减         D．在区间上单调递增 参考答案： B 7. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是米、4米，不考虑树的粗细．现在想用米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃．设此矩形花圃的面积为平方米，的最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是 参考答案： C 8. 把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（　　） A．y=sin（3x﹣） B．y=sin（3x+） C．y=sin（3x﹣） D．y=sin（3x+） 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解． 【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式为y=sin[3（x﹣）]=sin（3x﹣）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 9. 若，，，定义在R上的奇函数满足：对任意的且都有，则的大小顺序为（     ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B ∵对任意 且 都有 ， 在上递减，又 是奇函数， 在 上递减，由对数函数性质得 ，由指数函数性质可得 ， 又 ， ，故选B.   10. ( ) A.        B.       C.     D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算f（5）=　　． 参考答案： 4485 【考点】EL：秦九韶算法． 【分析】利用秦九韶算法计算多项式的值，先将多项式转化为f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x的形式，然后求解即可． 【解答】解：f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5=（（（（x+2）x+1）x﹣1）x+3）x﹣5 则f（5）=（（（（5+2）5+1）5﹣1）5+3）5﹣5 =4485． 故答案为：4485． 12. 已知向量，若，则=_____________.   参考答案： -2  略 13. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的 一点，点在曲线上，则的最小值为____________． 参考答案： 考点：导数的几何意义及数形结合思想的综合运用． 【易错点晴】本题设置了一道以两函数的解析式为背景,其的目的意在考查方程思想与数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的图像信息,先运用赋值法求出,进而求出,然后将问题等价转化为与直线平行且曲线相切的切点到直线的距离即为所求两个函数与的图像的交点的个数问题.解答时先求得,故切线斜率,解得,也即,该点到直线的距离为,从而获得答案. 14. 函数的最大值为______,此时x的值为______. 参考答案： －3    2 【分析】 先将原式化为，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 又，所以，当且仅当时取等号； 此时. 即最大值为，此时.   【解析】 15. 过点O(0,0)引圆C:的两条切线OA,OB，A,B为切点，则直线AB的方程是______________． 参考答案： 2x+2y-7=0 16. 函数的定义域为_________________ 参考答案： 略 17. 已知正三棱锥（底面为等边三角形，顶点在底面的射影为底面的中心）的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点，使的概率为_______ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （16分）已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R，1≤a≤6． （1）若a=2，求使f1（x）=f2（x）的x的值； （2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围； （3）求函数g（x）=﹣在[1，6]上的最小值． 参考答案： 考点： 指数函数综合题；指数型复合函数的性质及应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）若a=2，解方程f1（x）=f2（x）即可求x的值； （2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，转化为f1（x）≤f2（x）恒成立，即可求a的取值范围； （3）求出g（x）的表达式，讨论a的取值范围即可求出函数的最值． 解答： （1）若a=2，则f1（x）=e|x﹣3|，f2（x）=e|x﹣2|+1， 由f1（x）=f2（x）得e|x﹣3|=e|x﹣2|+1， 即|x﹣3|=|x﹣2|+1， 若x≥3，则方程等价为x﹣3=x﹣2+1，即﹣3=﹣1，不成立， 若2＜x＜3，则方程等价为﹣x+3=x﹣2+1，即2x=4，解得x=2，不成立， 若x＜2，则方程等价为﹣x+3=﹣x+2+1，此时恒成立； 综上使f1（x）=f2（x）的x的值满足x＜2． （2）即f1（x）≤f2（x）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1， 即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1对x∈R恒成立， 因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|， 故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2， 又1≤a≤6， 故a的取值范围为1≤a≤2． （3） ①当1≤a≤2时，由（2）知， 当x=2a﹣1∈[1，3]时，g（x）min=1． ②当2＜a≤6时，（2a﹣1）﹣a=a﹣1＞0， 故2a﹣1＞a．x≤a时，，； x≥2a﹣1时，，； a＜x＜2a﹣1时，由，得，其中， 故当时，； 当时，． 因此，当2＜a≤6时， 令，得x1=2a﹣2，x2=2a，且，如图， （ⅰ）当a≤6≤2a﹣2，即4≤a≤6时，g（x）min=f2（a）=e； （ⅱ） 当2a﹣2＜6≤2a﹣1，即时，； （ⅲ） 当2a﹣1＜6，即时，g（x）min=f1（2a﹣1）=1． 综上所述，． 点评： 本题主要考查函数性质的应用，利用指数函数的图象和性质是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 19. 已知函数，在处有最小值为0. （1）求a，b的值； （2）设， ①求的最值及取得最值时x的取值； ②是否存在实数k，使关于x的方程在上恰有一个实数解？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解：（1），所以，得. （2）， ①令，则，在递减，递增， 所以，此时，，此时. ②令，则，即. 方程有两个不相等的大于1的根，则，得； 方程有两个根，且，则，得无解， 综上所述，存在这样的.   20. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若，c=5，求b． 参考答案： 【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用． 【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案． （2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA， 根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以， 由△ABC为锐角三角形得． （Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7． 所以，． 21. 已知以点C（t, ）(t∈R, t ≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点。 (1)求证：△OAB的面积为定值； (2)设直线l: y=－2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程. 参考答案： (1)∵圆C过原点O，． 设圆C的方程是  ， 令，得；令，得， ∴S△OAB=|OA|·|OB|=×||×|2t|=4，即：△OAB的面积为定值．……………5分 (2）垂直平分线段． ，直线的方程是． ，解得：，    ……………8分 当时，圆心C的坐标为，， 此时C到直线的距离， 圆C与直线相交于两点， ……………10分 当时，圆心C的坐标为(－2, －1)， 此时C 到直线的距离， 圆C与直线相交，所以不符合题意舍去. 所以圆C的方程为     …………………12分 22. 已知函数在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，求a、b的值． 参考答案： 解：依题意，的对称轴为，函数在[1,3]上随着的增大而增大， 故当时，该函数取得最大值，即， 当时，该函数取得最小值，即，即， ∴联立方程得，解得，.