2022年浙江省绍兴市崧厦中学高三数学文期末试卷含解析

2022年浙江省绍兴市崧厦中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中为奇函数的是（　　） A．y=sin2x B．y=xcosx C．y=  D．y=|x| 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的判断． 【分析】利用奇偶函数的定义，即可得出结论． 【解答】解：对于A，D，满足f（﹣x）=f（x），函数是偶函数； 对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数； 对于C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数． 故选B． 　 2. ．x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差分别是（　　） A．和S2 B．3和3S2 C．3+5和9S2 D．3+5和9S2+30S+25 参考答案： C 【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【专题】概率与统计． 【分析】根据数据的平均数和方差公式即可求解． 【解答】解：根据数据平均数和方差公式可知，若y=ax+b， 则数据y和x的平均数和方程之间的关系为： ，， ∵y=3x+5， ∴， 方差， 故选：C． 【点评】本题主要考查平均数和方差的计算，要求熟练掌握满足线性关系的两个数据之间平均数和方差之间的关系，直接计算即可求值． 3. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为          A．1                                B．3                                         C．6                                D．2 参考答案： D 4. 对于一切实数&当变化时，所有二次函数.的函数值恒为非负实数，则的最小值是（ ） A.2   B. 3   C.   D. 参考答案： B 5. 不等式成立是不等式成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 参考答案： A  【知识点】充分、必要条件A2 解析：因为,所以,即,反之不成立,故选A. 【思路点拨】根据充分、必要条件的定义判断即可。 6. 下列四个命题中，为真命题的是                      （   ） 若，则             若，则 若，则              若，则 参考答案： C 略 7. 设集合，为自然数集，则中元素的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： C 试题分析：，即，则，共有5个元素．故选C． 考点：集合的运算． 8. 中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为    ，则该双曲线的离心率为(     ) A .    B.     C .     D. 参考答案： D 9. 函数f(x)=在[－π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 参考答案： D ∵， ∴为奇函数，排除A， 又，排除C， ，排除B，故选D.   10. 已知函数则的图象是                     (A)                   (B)                 (C)                     (D) 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.   已知函数,有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____． 参考答案： 12. 已知函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞），则函数y=的定义域为　　． 参考答案： ? 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】求出f（x）的定义域，解不等式（1﹣x）2＞2，取交集即可． 【解答】解：∵函数f（1﹣）的定义域为[1，+∞]， ∴f（x）的定义域是[0，1）①， 由（1﹣x）2＞2，解得：x＞1+或x＜1﹣②， 由①②得函数y=的定义域是?， 故答案为：?． 13. 已知是第二象限角，且则_____________ 参考答案： 14. 平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____. 参考答案： 【分析】 根据BD⊥CD，BA⊥AC，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积. 【详解】因为平面A′BD⊥平面BCD， BD⊥CD， 所以CD⊥平面ABD， ∴CD⊥BA，又BA⊥AD，∴BA⊥面ADC， 所以BA⊥AC， 所以△BCD和△ABC都是直角三角形， 由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上， 所以BC的中点就是球心，所以BC，球的半径为： 所以球的表面积为：3π. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 15. 在如图的程序框图中，输出的值为，则，= . 参考答案： 5 16. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则=          ． 参考答案： 17. 已知下列表格所示的数据的回归直线方程为多，则a的值为           ． 参考答案： 242 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 (1)当时,讨论的单调性; (2)若在定义域内有两个极值点,求证:. 参考答案： 19. 设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数． （1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围； （2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论． 参考答案： 解：（1）求导数可得f′（x）= ∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴≤0在（1，+∞）上恒成立， ∴a≥，x∈（1，+∞）． ∴a≥1．         g′（x）=ex-a， 若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立， g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意； 若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意．      故a的取值范围为：a＞e．              （2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立， ∴a≤                        f′（x）=（x＞0） 0＜a≤，令f′（x）＞0得增区间（0，）； 令f′（x）＜0得减区间（） 当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞ ∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号 ∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点； ②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点；       ③a＜0时，f′(x)＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在 （0，+∞）上是单调增函数 当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞ ∴f（x）有1个零点                                     综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点． 略 20. (本小题满分12分) 已知三次函数的导函数，，，为实数。m] （1）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值； （2）若在区间上的最小值、最大值分别为和1，且，求函数的解析式。 参考答案： 解析：（Ⅰ）由导数的几何意义=12  ……………1分 ∴   ……………2分 ∴   ∴   ………………………3分 （Ⅱ）∵ ， ∴   ……5分 由  得， ∵ ［-1，1］， ∴ 当［-1，0)时，，递增； 当（0，1］时，，递减。……………8分 ∴ 在区间［-1，1］上的最大值为 ∵ ，∴ =1 ……………………10分 ∵ ， ∴  ∴ 是函数的最小值， ∴   ∴ ∴ =  ………………12分 略 21. （本小题满分10分） 已知，（其中） . (1)求； (2)求证：当时，． 参考答案： (1)取，则；取，则， ∴；         …………………………………………4分 (2)要证，只需证， 当时，； 假设当时，结论成立，即， 两边同乘以3 得： 而 ∴，即时结论也成立， ∴当时，成立. 综上原不等式获证.  ……………………………………………………………………10分 22. （本小题满分12分）如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面             （I）证明： （II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。 参考答案： 解析：（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面， （射影相等的两条斜线段相等）而平面， （相等的斜线段的射影相等）。 分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。 分析三：利用空间向量的方法。具体解析法略。 （II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.    设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得  即与平面所成的角为 分析二：作出与平面所成的角再行求解析。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解析法详见高考试题参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。