2022年山东省青岛市莱西李权庄镇中心中学高二数学文上学期期末试题含解析

2022年山东省青岛市莱西李权庄镇中心中学高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的取值范围是 A．a≥0         B．a≥－2        C．a≥－       D．a≥－3 参考答案： C 2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解：复数=﹣﹣i，虚部为﹣． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 不等式的解集为                               (  ) A.      B. C.     D. 参考答案： B 试题分析：，根据穿线法可得不等式的解集为，故穿B. 考点：解不等式 4. 函数的图像    A、 关于原点对称                    B、关于主线对称    C、 关于轴对称                    D、关于直线对称 参考答案： A 5. 若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 参考答案： D 【分析】 由函数在上是单调函数，可得为一常数，进而可得函数的解析式，将代入可得结果. 【详解】对任意，都有， 且函数在上是单调函数， 故，即， ，解得， 故， ，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与函数的解析式以及待定系数法的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 6. 下列给出的赋值语句中正确的是（   ） A. 4 = M        B. x + y = 0 C. B=A=3       D. M =M+1 参考答案： D 7. 已知，则的最小值是（    ） A．2             B．           C． 4           D． 参考答案： C 8. 用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，求证a、b、c中至少有二个为正数”时，要做的假设是（　　） A．a、b、c中至少有二个为负数 B．a、b、c中至多有一个为负数 C．a、b、c中至多有二个为正数 D．a、b、c中至多有二个为负数 参考答案： A 【考点】反证法的应用． 【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”，由此得出结论． 【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立， 而：“a、b、c中至少有二个为正数”的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”． 故选A． 　 9. 观察圆周上个点之间所连成的弦，发现2个点可以连成一条弦，3个点可以连成3条弦， 4个点可以连成6条弦，5个点可以连成10条弦，由此可以推广到的规律是 （    ） （A）6个点可以连成15条弦        （B）n个点可以连成条弦 (C)n个点可以连成条弦      (D)以上都不对 参考答案： C 略 10. 对总数为Ｎ的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则Ｎ的值为（　　　　） Ａ　120　　Ｂ　200　　　　　　Ｃ150　　　　Ｄ100 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线的倾斜角的范围是______________________。(为任意实数) 参考答案： 12. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于      ． 参考答案： 不存在 【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可． 【解答】解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）． ∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1． ∴Q（2m2﹣1，2m）， 由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）． ∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0． 故满足条件的直线l不存在． 故答案为不存在． 【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力． 13. 曲线上的点到直线的最短距离是          ． 参考答案： 直线斜率是2，y'==2，x=，即y=ln上(,ln)处切线斜率是2 所以切线是y-ln()=2(x-)，2x-y-1-ln2=0，则和2x-y+3=0的距离就是最短距离 在2x-y+3=0上任取一点(0,3)，到2x-y-1-ln2=0距离=。   14. 一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是_______． 参考答案： 方法一：基本事件全体Ω＝{男男，男女，女男，女女}，记事件A为“有一个女孩”，则P(A)＝，记事件B为“另一个是男孩”，则AB就是事件“一个男孩一个女孩”，P(AB)＝，故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率P(B|A)＝＝. 方法二：记有一个女孩的基本事件的全体Ω′＝{男女，女男，女女}，则另一个是男孩含有基本事件2个，故这个概率是. 15. 在的二项展开式中，第4项的系数为　　． 参考答案： ﹣40 【考点】DC：二项式定理的应用． 【分析】由通项公式求得第4项，即可求得第四项的系数． 【解答】解：在的二项展开式中，由通项公式求得第4项为 T4=?（4x2）?=， 故第4项的系数为﹣40， 故答案为﹣40． 16. 若经过坐标原点的直线与圆相交于不同的两点，，则弦的中点的轨迹方程为____________. 参考答案： 17. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=　　． 参考答案： 1 【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=， ∴B=或B= 当B=时，a=，C=，A=， 由正弦定理可得， 则b=1 当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾 故答案为：1 【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 试分别用辗转相除法和更相减损术求840与1764、440与556的最大公约数。 参考答案： （1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数。         1764=8402+84，840=8410+0， 所以840与1764的最大公约数就是84。    (2）用更相减损术求440与556的最大公约数。         556-440=116，440-116=324，324-116=208，208-116=92，116-92=24，92-24=68，         68-24=44，44-24=20，24-20=4，20-4=16，16-4=12，12-4=8，8-4=4。         440与556的最大公约数是4。   19. 已知经过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：相交于B、C，当直线l的斜率是时，． （Ⅰ）求抛物线G的方程； （Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围． 参考答案： 解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知k1＝时，l方程为y＝(x＋4) 即x＝2y－4． 由得2y2－(8＋p)y＋8＝0 ∴ 又∵ ∴y2＝4y1                                                由p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，即抛物线方程为：x2＝4y． (2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0) 由得：x2－4kx－16k＝0① ∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k． ∴BC的中垂线方程为y?2k2?4k＝?(x?2k) ∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2 对于方程①由△＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4． ∴b∈(2，＋∞)                                       略 20. （本题14分）已知 ，（i=1,2，3,… n），。 求证： 参考答案： 证明：（1） 由已知有： …… …… …… …… …… …… 6分 （2） 即  …… …… …… …… …… 14分 21. （12分）已知a＞0，b＞0，a+b=1． （Ⅰ）求y=(a+)(b+)的最小值． （Ⅱ）求证：(a+)2+(b+)2≥． 参考答案： 【考点】基本不等式． 【分析】（Ⅰ）先判断出ab的范围，再化简y，设t=ab，构造函数，判断出函数的单调性，即可求出答案， （Ⅱ）先由基本不等式，再由（Ⅰ）的结论即可证明 【解答】证明：（Ⅰ）∵． ∵， ∵=， 令，∵，；{t1＜t2t1＜t2， ， ∵t1﹣t2＜0，t1t2﹣2＜0，∴y1﹣y2＞0， ∴y在上是减函数， ∴； （Ⅱ）∵ 由（Ⅰ） 【点评】本题考查了函数的最值和求法和基本不等式的应用，属于中档题 　 22. （本小题满分12分）设函数 （1）当时，求曲线处的切线方程； （2）当时，求的极大值和极小值； （3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围. 参考答案： 令………………6分 ∴递减，在（3，+）递增 ∴的极大值为…………8分 （3） ①若上单调递增。∴满足要求。…………………10分 ②若 ∵恒成立， 恒成立，即a>0……………11分 时，不合题意。 综上所述，实数的取值范围是……………12分