2022-2023学年云南省昆明市西山区职业高级中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年云南省昆明市西山区职业高级中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量，下列结论中不正确的是（    ） A．⊥              B．∥    C．              D． 参考答案： B 2. 函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 参考答案： A 【考点】幂函数的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0． 【解答】解：根据题意，得 f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数， ∴m2﹣m﹣1=1， 解得m=2或m=﹣1； 又f（x）在第一象限是增函数， 且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意； 当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意； ∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数； 又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b， 又ab＜0，不妨设b＜0， 即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0， f（﹣b）=﹣f（b）， ∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0． 故选：A． 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目． 3. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是(     ) A．          B．           C．        D． 参考答案： C 4. 已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(　　) 参考答案： B 5. 等于（　　） A.　　    B. C．－  D．－ 参考答案： A 略 6. 已知全集，则图中阴影部分所表示的集   合等于（   ）   A．               B．               C．              D． 参考答案： A 试题分析：因,则,故应选A. 考点：不等式的解法与集合的运算. 7. 给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的三个判断： ①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；  ②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z； ③函数y=f（x）在（，]上是增函数． 则上述判断中所有正确的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 参考答案： B 【考点】函数的值． 【分析】依据函数定义，得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，再对三个命题逐个验证后，即可得到正确结论． 【解答】解：在①中，由题意知，{x}﹣＜x≤{x}+， 则得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，则命题①为真命题； 在②中，由于k∈Z时，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0， 但由于f（x）∈（﹣，]，故函数不是中心对称图形，故命题②为假命题； 在③中，由于{x}﹣＜x≤{x}+，则得到f（x）=x﹣{x}为分段函数， 且在（﹣，]，（，]上为增函数，故命题③为真命题． 故答案为 ①③． 故选：B． 8. 设，集合，则         （    ） A．1                B．               C．2               D．  参考答案： C 9. 设集合M={x|﹣3＜x＜2}，N={x|1≤x≤3}，则M∪N=（　　） A．[2，3] B．[1，2] C．（﹣3，3] D．[1，2） 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【分析】由M与N，求出两集合的并集即可． 【解答】解：∵M=（﹣3，2），N=[1，3]， ∴M∪N=（﹣3，3]， 故选：D． 10. 在区间[–1，1]上任取两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 由题意知，所有的基本事件构成的平面区域为，其面积为．设“在区间[-1,1]上任选两个数，则”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，其面积为． 由几何概型概率公式可得所求概率为．选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将正偶数按下表排成5列：              第1列       第2列       第3列       第4列      第5列 第1行                  2            4            6            8 第2行     16          14           12           10 第3行                 18           20           22            24           ……        ……          28           26 则2006在第   行，第   列。 参考答案： 第251行，第4列   略 12. 利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______. 参考答案： 【分析】 令得，转化为z==，再利用圆心到直线距离求最值即可 【详解】令，则 故转化为z== ，表示上半个圆上的点到直线的距离的最小值的5倍，即 故答案为3 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题 13. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程                       ； 参考答案： 或 14. 若集合为{1，a，}={0，a2，a+b}时，则a﹣b=　  　． 参考答案： ﹣1 【考点】集合的相等． 【分析】利用集合相等的概念分类讨论求出a和b的值，则答案可求． 【解答】解：由题意，b=0，a2=1 ∴a=﹣1（a=1舍去），b=0， ∴a﹣b=﹣1， 故答案为﹣1． 15. （5分）已知函数f（x）=sinx+x3，x∈（﹣1，1）若f（1﹣a）+f（3﹣2a）＜0，则a的取值范围是          ． 参考答案： （，2） 考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可． 解答： ∵f（x）=sinx+x3， ∴f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数， 函数的导数f′（x）=cosx+3x2＞0，则函数f（x）在x∈（﹣1，1）上为增函数， 则不等式f（1﹣a）+f（3﹣2a）＜0，等价为f（1﹣a）＜﹣f（3﹣2a）=f（2a﹣3）， 即， 即，解得＜a＜2， 故答案为：（，2）． 点评： 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质． 16. 已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为　　． 参考答案： ﹣4 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值． 【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a， 故弦心距d=． 再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4； 故答案为：﹣4． 17. 已知数列{an}满足：，．若，，且数列{bn}是单调递增数列，则实数的取值范围是______． 参考答案： 【分析】 由题意，数列满足，取倒数可得， 即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解. 【详解】由题意，数列满足 ，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以， 所以， 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 即； 当时，，因此. 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 平面内给定三个向量，，． （1）求满足的实数m，n． （2）若满足，且，求的坐标． 参考答案： （1），；（2） 或 ． 【分析】 （1）利用向量坐标及向量相等求解即可；（2）若向量满足（）∥（），且||，求向量的坐标． 【详解】（1）由已知条件以及mn，可得：（3，2）＝m（﹣1，2）+n（4，1）＝（﹣m+4n，2m+n）． ∴，解得实数m，n． （2）设向量（x，y），（x﹣4，y﹣1），（2，4）， ∵（）∥（）， ||， ∴，解得或， 向量的坐标为（3，﹣1）或（5，3）． 19. 已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24， （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）求△OAB的内切圆的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程． 【分析】（Ⅰ）设l：3x+4y+m=0，利用直线与两坐标轴围成的△OAB的面积为24，即可求直线l的方程； （Ⅱ）△ABC的内切圆半径r==2，圆心（2，2）或（﹣2，﹣2），即可求△OAB的内切圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设l：3x+4y+m=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当y=0时，x=﹣； 当x=0时，y=﹣． ∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴?|﹣|?|﹣|=24．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴m=±24． ∴直线l的方程为3x+4y+24=0或3x+4y﹣24=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）∵直线l的方程为=±1， ∴△ABC的内切圆半径r==2，圆心（2，2）或（﹣2，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴△ABC的内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4或（x+2）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20. （12分）（1）解不等式x2-4x+3>0； （2）求值： 参考答案： 21. 已知函数，，其中且，设． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）若，求使成立的x的集合． 参考答案： （1）要使函数有意义，则，计算得出， 故h(x)的定义域为；                                   ………3分 （2） …6分 故h(x)为奇函数．                                          ………7分 （3）若f(3)=2， ，得a=2，                ………9分         此时，若，则，         ，得，                           ………13分         所以不等式的解集为．                              ………14分 22. (10分)　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， M为PD的中点． 求证：PB∥平面ACM. 参考答案：