广东省梅州市兴宁坭陂中学高二数学文上学期期末试题含解析

广东省梅州市兴宁坭陂中学高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示的算法流程图中（注：“”也可写成“”或“”, 均表示赋值语句），第3个输出的数是（      ） A．1              B． C．             D． 参考答案： C 2. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为 A. B. C. D. 参考答案： D 3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此。 3. 不等式≥0的解集为（　　） A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） 参考答案： B 【考点】其他不等式的解法． 【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可 【解答】解：不等式≥0 ?（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2 ?﹣2≤x≤1且x≠﹣2?﹣2＜x≤1． 即不等式的解集为：（﹣2，1]． 故选B． 4. 命题“”的否定是（    ）     A.                    B.  ≤0   C.  ≤0                  D.  ≤ 参考答案： B 略 5. 设是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①               ② ③不与垂直         ④ 中，是真命题的有（    ） A．①②          B．②③           C．④             D．②④ 参考答案： D 6. 已知直线，是平面，给出下列命题：（1）若；②若；③若；④若a与b异面，且相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是（      ） A.1             B.2             C.3            D.4 参考答案： A 略 7. 已知，,=3，则与的夹角是 (    )             A．150      B．120   C．60     D．30 参考答案： B 8. 下列命题是真命题的为 （    ） A．若,则        B．若,则 C．若,则      D．若,则 参考答案： B 9. f(x)=ax3+3x2+2,若f′(－1)=4,则a的值等于(    ) A.         B.        C.                   D. 参考答案： D 10. 设向量，则向量与的夹角等于     A．30°   　　　B．45°  　　 　　C．60°  　　　　D．120° 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线x﹣y﹣2=0的倾斜角为　　． 参考答案：   【考点】直线的倾斜角． 【分析】设直线的倾斜角为α，则tanα=，α∈[0，π），即可得出． 【解答】解：设直线的倾斜角为α， 则tanα=，α∈[0，π）， ∴α=． 故答案为． 12. 在极坐标系中，点P（2，0）与点Q关于直线sinθ=对称，则|PQ|=        ． 参考答案： 2 考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：直线sinθ=，即．如图所示，|PM|=2，即可得出|PQ|=2|PM|． 解答： 解：直线sinθ=，即． 如图所示，|PM|=2=． ∴|PQ|=2． 故答案为：2． 点评：本题考查了极坐标的应用、对称的性质，属于基础题． 13. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，现采取分层抽样的方法从男生中任意抽取25人，那么应该在女生中任意抽取           人. 参考答案： 略 14. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为，外接球体积为，则____. 参考答案： 设正四面体的棱长为，高为，四个面的面积为，内切球半径为，外接球半径为，则由，得； 由相似三角形的性质，可求得，所以 考点：类比推理，几何体的体积. 15. 已知数列{an}的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}．则数列{cn}的前28项的和           ． 参考答案： 820 16. 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为__   __km. 参考答案： 17. Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2﹣3n+3，则数列{an}的通项公式为an=　　． 参考答案： 【考点】数列递推式． 【分析】利用递推关系n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．即可得出． 【解答】解：n=1时，a1=S1=1； n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣3n+3﹣[（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+3]=2n﹣4， ∴an=． 故答案为：． 【点评】本题考查了数列的递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 袋中装有大小相同的3个红球和3和个白球． （Ⅰ）从中任意取出2个球，求这2个球都是红球的概率． （Ⅱ）从中任意取出3个球，求恰有1个是红球的概率． 参考答案： 见解析 （Ⅰ）任取2个球总的基本事件个数：， 2个球都是红球包含的基本事件个数为：， 故从中任取2个球，这2个球都是红球的概率． （Ⅱ）任取3个球，总的基本事件个数是：， 恰有1个红球包含的基本事件个数是：， 故从中任取3个球，恰好有1个红球的概率． 19. 已知圆C,D是轴上的动点,直线DA、DB分别切圆C于两点。 （1）如果，求直线CD的方程；        （2）求动弦的中点的轨迹方程E；        （3）直线（为参数）与方程E交于P、Q两个不同的点，O为原点，设直线OP、OQ的斜率分别为，试将表示成m的函数，并求其最小值。 参考答案： 解析：（1）设E为CD与AB的交点，由，可得 由∽， 所以点D坐标为∴直线MQ的方程是 即或    （2）设E，D（0，a）由点C，E，D在一条直线上， 得，∴① 由∽  即② 由①②消去得 （3）设P、Q两点的坐标分别为和，联立和得，则， 将韦达定理代入得 且又因为圆的方程中所以， 时取得最小值，最小值为 20. （13分）（2014?淮安模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7． （1）求椭圆的方程； （2）求AB+CD的取值范围． 参考答案： （1）由题意知，，， 所以．    ……………………………2分 因为点在椭圆上，即， 所以． 所以椭圆的方程为．                      ……………………………5分 （2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知；                             ……………………………6分 因为，所以， 所以， 所以． 综合①与②可知，的取值范围是．     ……………………………13分 21. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 （Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离； （Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算． 【分析】（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求； （II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦； 解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角． 【解答】解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1． 故CD⊥平面A1ABB1． 所以点C到平面A1ABB1的距离为CD== （II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1． 又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD?A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1=== 解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz． 设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h） 由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0） 设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥ ∴?=0且?=0，即，取z1=1，则=（，0，1） 设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0）， 所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值 22. 数列满足．（为前n项和） （1）计算，并由此猜想；（2）推导{}中相邻两项的关系式并化简 参考答案： （1）猜想： （2）（   略