天津天华高级中学高三数学文模拟试题含解析

天津天华高级中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点   在抛物线上，且，则的最小值为   （  ）     A.6           B.          C.          D. 参考答案： C 2. 已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为 A．           B．          C．             D． 参考答案： 【知识点】椭圆的几何性质H5 A解析：因为过的直线是圆的切线，所以可得，因为，所以可得，由椭圆定义可得，可得题意离心率为，故选择A. 【思路点拨】由已知条件推导出，从而得到，由此能求出椭圆的离心率． 3. 已知数列{an}是等差数列，且，，则公差d=       （       ） A． B．4                C．8                 D．16 参考答案： B 4. 9．节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（    ） （A）            （B）             （C）              （D） 参考答案： C 5. 某钢铁企业生产甲乙两种毛坯，已知生产每吨甲毛坯要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙毛坯要用A原料1吨，B原料3吨。每吨甲毛坯的利润是5万元，每吨乙毛坯的利润是3万元，现A原料13吨，B原料18吨，则该企业可获得的最大利润是 A 27万元          B. 29万元         C. 20万元     D. 12万元 参考答案： A 略 6. 函数是    （   ） A．最小正周期为的奇函数  B． 最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 参考答案： C 略 7. 设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（    ） （A）     （B）   （C） （D） 参考答案： D 8. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（　　） A．8 B．9 C．16 D．21 参考答案： B 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得． 【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立， ∴S△ABC=absinC≤×36×=9， 故选：B． 9. 设全集I是实数集R，与都是I的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（    ）   A. B.      C.     D. 参考答案： 试题分析：因为，所以 又因为，所以 所以阴影部分为 故答案选 考点：集合的表示；集合间的运算. 10. 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线 (A) 只有一条，不在平面α内     (B) 有无数条，不一定在平面α内 (C) 只有一条，且在平面α内     (D) 有无数条，一定在平面α内 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若集合,集合，则_________. 参考答案： R 12. 锐角三角形ABC中，若，则的范围是         ； 参考答案： ( 试题分析：因为，为锐角三角形， 所以 根据正弦定理，根据余弦函数的图象，可知 考点：本小题主要考查正弦定理、二倍角公式以及三角函数图象的性质和应用，考查学生的转化能力和数 形结合思想的应用. 点评：解决此题时，容易漏掉，从而产生错误结论，所以解题时一定要严谨. 13. 已知点 在角 的终边上（角的顶点为原点，始边为x轴非负半轴），则的值为_________ ． 参考答案： 略 14. 已知集合A＝{x |－1 < x < 1}，B＝{x |x > 0}，则A∩B＝   ▲   ． 参考答案： 15. 已知为的外心， . 若, 则=   ▲   ． 参考答案： 略 16. 已知平面向量,若,则x=________. 参考答案： 【分析】 由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可. 【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：. 故答案：． 【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题. 17. 函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是　　　　　　． 参考答案： π 考点： 二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期． 解答： 解：∵sin2x=2sinxcosx ∴f（x）=sinxcosx=sin2x， 因此，函数f（x）的最小正周期T==π 故答案为：π 点评： 本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）的定义域为，                      当时，， ，       1 — 0 +   极小             所以在处取得极小值1. （Ⅱ），          ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增；   ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增.                （III）在上存在一点，使得成立，即 在上存在一点，使得，即 函数在上的最小值小于零.       由（Ⅱ）可知 ①即，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得， 因为，所以；                      ②当，即时， 在上单调递增， 所以最小值为，由可得； ③当，即时， 可得最小值为， 因为，所以， 故    此时，不成立.                            综上讨论可得所求的范围是：或.   略 19. 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为P=（c为常数，且0＜c＜6），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． （1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=） 参考答案： 【考点】分段函数的应用． 【专题】计算题． 【分析】（1）要求日盈利额y（万元），只要找出日产量x（万件）中正品与次品的数量，根据分段函数分段研究，针对不同的次品率得到不同的正品与次品数即可； （2）利用函数的导数求函数的最大值． 【解答】解：（1）当x＞c时，∴ 当0＜x≤c时， ∴ ∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为 （2）由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0． 当0＜x≤c时，∵ ∴ 令y'=0得x=3或x=9（舍去） ①当0＜c＜3时， ∵y'＞0，∴y在区间（0，c]]上单调递增，∴y最大值=f（c）=， 此时x=c ②当3≤c≤6时，在（0，3）上，y'＞0， 在（3，6）上y'＜0∴y最大值=f（3）= 综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大； 若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大（13分） 【点评】本题考查分段函数的应用与计算以及函数的导数求函数最值，要求熟练掌握求导法则以及导数法判断函数的单调性解决问题，是中等题． 20. 某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60,150]），按下列分组[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[70,90)内的所有数据的茎叶图如图2： 根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表． 份数 [60,80) [80,120) [120,150] 可能被录取院校层次 专科 本科 自招 （1）求n的值及频率分布直方图中的x,y值； （2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率； （3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 参考答案： （1）0.014；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）由图2知分数在的学生有4名，由图1知，频率为，由此能求出的值及频率分布直方图中的值；（2）能被专科院校录取的人数为6人，抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是，从而从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为，记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为，由此可求出此2人都不能录取为专科的概率；（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人，成绩能过自招线人数为12人，随机变量的所有可能取值为，分别求出随机变量的分布列和数学期望． 【详解】（1）由图知分数在的学生有名， 又由图知，频率为：，则： ， （2）能被专科院校录取的人数为：人 抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是： 从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为 记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为 则此2人都不能录取为专科的概率： （3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为人 成绩能过自招线人数为：人， 又随机变量的所有可能取值为 ∴；； ； 随机变量的分布列为： 0 1 2 3   【点睛】本题考查频率、频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、对立事件概率计算、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．   21. （本小题满分12分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求a+c的值.   参考答案： 解：（Ⅰ）因为成等比数列，所以……………………………………1分 由正弦定理可得 ……………………………………2分 所以 ……………………………………3分 ……………5分 ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由得知……………………………7分 由得…………………………………………………8分 所以…………………………………………………9分 由余弦定理得 得…………………………………………10分 即…………………………………………11分 解得……………………………………………………………12分   22. (本小题满分6分) 已知直线，直线和直线． （Ⅰ）求直线和