广西壮族自治区桂林市八中高二数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区桂林市八中高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(   ) A.             B.            C.            D. 参考答案： A 2. 经过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，若, 则线段的长等于                                        （      ） A、5                       B、6                      C、7                      D、8 参考答案： C 3. 若A，B，当取最小值时，的值等于（   ） A．  B．  C．  D． 参考答案： C  解析：        ，当时，取最小值 4. 设x是实数，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 参考答案： B 【分析】 求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】解：设是实数，若“”则：， 即：，不能推出“” 若：“”则：，即：，能推出“” 由充要条件的定义可知：是实数，则“”是“”的必要不充分条件； 故选：B． 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．   5. 若对于任意的实数x，有，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 参考答案： B 试题分析：因为，所以，故选择B. 考点：二项式定理. 6. 已知直线y＝kx－2(k＞0)与抛物线C：x2＝8y相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝4|FB|，则k＝ A．3     B．        C．             D． 参考答案： B 7. 已知等差数列，为其前项和，若，且， 则 （A）     （B）       （C）       （D） 参考答案： C 略 8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=4，cosA=，则b=（　　） A．2 B．2 C．4 D．6 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵a=2，c=4，cosA=， ∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：20=b2+16﹣2×， ∴整理可得：3b2﹣16b﹣12=0，解得：b=6或﹣（舍去）． 故选：D． 9. 已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（　　） A．① B．③④ C．①③ D．①②③ 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用；双曲线的简单性质． 【分析】先分别判定命题p、命题q的真假，在根据复合命题的真值表判定． 【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题； 对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题； ①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真； 故选：B． 　 10. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（    ）        A．2      B．4       C．6      D．8 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上) ①BD∥平面CB1D1； ②AC1⊥平面CB1D1； ③AC1与底面ABCD所成角的正切值是； ④二面角C—B1D1－C1的正切值是； ⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条． 参考答案： ①②④ 12. 已知为互相垂直的单位向量，若向量与的夹角等于60，则实数=         .    参考答案： 13. 不等式的解集为            参考答案：     14. 已知直线的方程为，过点且与垂直的直线方程为        . 参考答案： 15. 直线过点，倾斜角是，且与直线交于，则的长为       。 参考答案： 16. 观察下列等式  1=1               2+3+4=9               3+4+5+6+7=25               4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律，第n个等式为_____________________    参考答案： n+(n+1) +(n+2)+ …+(3n-2)=(2n-1)2 17. 由曲线与直线围成的平面图形的面积为            . 参考答案：    三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分7分） 已知等差数列{}的前n项和为Sn，且 bn＝－30 （1）求通项；    （2）求数列{bn}的前n项和Tn的最小值。 参考答案： 解：（1）由＝10，＝72，得 ∴＝4n－2，-----------------4分 （2）则bn =－30＝2n－31.    得  ∵n∈N*，∴n＝15. ∴{bn}前15项为负值，∴最小， 可知b1＝－29，d＝2，∴T15=－225. -----------------7分 19. 已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率, 原点到经过点A(a, 0), B(0, -b)的直线的距离是 (1)求椭圆C的方程; (2)若P(x, y)是椭圆C上的一动点, 求x2+y2的取值范围 参考答案： 略 20. 某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和． （1）试将y表示为x的函数； （2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳． 参考答案： 【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值． 【分析】（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果． （2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果． 【解答】解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x， ∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x 连接OD，则由OD=OE=OF=1， ∴， ∴ =； （2）∵由， 解得， 即， 又当时，y'＞0，此时y在上单调递增； 当时，y'＜0，此时y在上单调递减． 故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳． 21. 某厂拟在2014年通过广告促销活动推销产品.经调查测算，产品的年销售量（假定年产量=年销售量）万件与年广告费用万元满足关系式：（为常数）.若不做广告，则产品的年销售量恰好为1万件.已知2014年生产该产品时，该厂需要先固定投入8万元，并且预计生产每1万件该产品时，需再投入4万元，每件产品的销售价格定为每件产品所需的年平均成本的1.5倍（每件产品的成本包括固定投入和生产再投入两部分，不包括广告促销费用）. （Ⅰ）将2014年该厂的年销售利润（万元）表示为年广告促销费用（万元）的函数； （Ⅱ）2014年广告促销费用投入多少万元时，该厂将获利最大？ 参考答案： （Ⅰ）由题意得当时即 ∴    …………………………………2分 ∴ ∴…6分 ∴所求的函数解析式为   …………………………………7分 （Ⅱ）由（1）得     ………………………………………………8分 ∵  ∴  ∴ 当且仅当即时取等号.     …………………………………………12分 ∴当2014年广告促销费用投入1万元时，该将获利最大.     ……………………13分   略 22. 已知函数. （1）若，讨论函数的单调性； （2）证明：当时，. 参考答案： （1）单调增区间是，减区间是；（2）见解析。 【分析】 （1）利用导数求解函数单调区间的步骤即可求解；（2）将原不等式变形，构造函数，通过研究其单调性，再结合其在及的取值范围，利用符号法则即可证明。 【详解】（1）函数的定义域是，， 因为 由 解得；由解得； 故函数的单调增区间是，减区间是。 （2）依题意，等价于 ， 即 设，则， 设，则 所以当时，；当时，， 函数的最小值为，所以在上递增， 而，所以时，；时， 综上，时，， ，可得； 时，，，可得， 故当时，。 【点睛】本题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及利用导数证明函数不等式，将恒成立问题转化为函数的最值问题，是证明函数不等式的常用方法。