江苏省徐州市矿务集团第二中学高三数学理月考试卷含解析

江苏省徐州市矿务集团第二中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量，，若，则(  ) A.        B.        C.0        D.1 参考答案： C =,=,解方程=得0.选C. 2. 设p：log2x＜0，q：（）x﹣1＞1，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由log2x＜0可知0＜x＜1，又由于＞1，得x﹣1＜0，故x＜1是0＜x＜1的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件． 【解答】解： ∵log2x＜0 ∴0＜x＜1， 又∵＞1， ∴得x﹣1＜0， 故x＜1是0＜x＜1的充分不必要条件． 故p是q的充分不必要条件． 故选B． 3. 设全集为R，集合，，则A∩B=（   ） A．       B．      C．      D． 参考答案： C 因为集合，， 所以，故选C.   4. （5分）（2015?陕西一模）已知复数z1=2+i，z2=1﹣2i，若，则=（　　） 　 A． B． C． i D． ﹣i 参考答案： 【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 【专题】： 数系的扩充和复数． 【分析】： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解：∵复数z1=2+i，z2=1﹣2i， ∴====i， 则=﹣i． 故选：D． 【点评】： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 5. 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是                ． 参考答案： 或 略 6. 已知，，则=   （A）     （B）      （C）      （D） 参考答案： A 略 7. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 （A）8 （B）2 （C）6＋4 （D）4＋4 参考答案： C 略 8. 右图是某四棱锥的三视图， 则该几何体的表面积等于           (      ) A．         B． C．   D．   参考答案： A 略 9. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（    ） A．         B．       C．       D． 参考答案： A 10. 已知函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是    A．        B．      C．       D．  参考答案： D 当时，由得，此时。当时，由得。即，因为，所以，即，选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________． 参考答案： 略 12. 若是定义在R上的偶函数，则实数a＝＿＿＿ 参考答案： 略 13. 已知函数，则           . 参考答案： ，所以，. 14. 若直线2ax－by+2=0(a>0，b>0)被圆x2+y2+2x－4y+l=0截得的弦长为4，则ab的最大值是       ． 参考答案： 略 15. 在中， 则       ． 参考答案： 16. 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的取值范围是________． 参考答案： 17. 已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为___________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知a>3且a≠，命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x 的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围． 参考答案： 若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，∴0＜2a－6＜1，∴3＜a＜. …3分 若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足 …………6分 ∴解得a＞，又a>3且a≠，∴a>3且a≠………………8分 又由题意应有p真q假或p假q真．………………9分ks5u ①若p真q假，则a无解．②若p假q真，则a>，………… 11分 ∴a>. …………12分 19. （2017?宁城县一模）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a的值； （2）当x＞1时，求证f（x）＞3（x﹣1）． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，解a的方程可得a的值； （2）求出f（x）的解析式，令g（x）==，求得导数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），求出导数，判断单调性，运用零点存在定理可得h（x）零点的范围，进而得到g（x）的单调性，即有g（x）的最小值，即可得证． 【解答】解：（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f′（x）=a+lnx+1． 因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3， 所以f′（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．… （2）证明：由（1）知，f（x）=x+xlnx， 令g（x）==， 则g′（x）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1）， 则h′（x）=1﹣=＞0， 所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分） 因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0， 所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）． 当1＜x＜x0，h（x）＜0，即g′（x）＜0， 当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，…（9分） 所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． 所以[g（x）]min=g（x0）===x0． 因为x0＞3，所以x＞1时，令＞3，即f（x）＞3（x﹣1）…（12分） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用方程思想，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用导数判断单调性以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 20. 对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件： ①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0 ②f（1）=1 ③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2） 成立；则称函数f（x）为理想函数．试证明下列三个命题： （1）若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0； （2）函数f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是理想函数； （3）若函数f（x）是理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0． 参考答案： 考点： 抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）首先根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可得f（0）=0； （2）根据“理想函数”的定义，只要检验函数gfx）=2x﹣1，是否满足理想函数的三个条件即可； （3）根据“理想函数”的定义进行推导即可． 解答： 解：（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0） 即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0， ∴f（0）=0； （2）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1． 若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1， 则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0， 故f（x）=2x﹣1满足条件①②③， 故f（x）=2x﹣1为理想函数． （3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]， ∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）． 若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾； 若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾． 故f（x0）=x0． 点评： 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，函数的新定义则转化为函数性质问题，本题则结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．综合性较强． 21. （本小题满分13分）如图，已知点为椭圆右焦点，圆 与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点. （Ⅰ）求的值及椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点满足， 其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM 与ON的斜率之积为，求证：为定值. 参考答案： （Ⅰ）由题意可知，又. 又 .……..2分 在中，， 故椭圆的标准方程为： ………..6分 （Ⅱ）设 ∵M、N在椭圆上，∴ 又直线OM与ON的斜率之积为，∴， 于是 . 故为定值. ………..13分 22. 已知函数. （1）若函数在[1,+∞)上为增函数，求a的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：(e为自然对数的底数). 参考答案： （1）由题可知，函数的定义域为， 因为函数在区间[1,+∞)上为增函数， 所以在区间[1,+∞)上恒成立等价于，即， 所以a的取值范围是(－∞,2].（4分） （2）由题得，则 因为有两个极值点， 所以 欲证等价于证，即， 所以 因为，所以原不等式等价于?①. 由可得，则②. 由①②可知，原不等式等价于，即 设，则，则上式等价于. 令，则 因为，所以，所以在区间上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即.（12分）