2022-2023学年湖北省荆州市松滋街河市镇中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖北省荆州市松滋街河市镇中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（     ） A.45，56   B.46，45   C.47，45   D.45，47 参考答案： B 2. 执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（　　） A． B． C．D．   参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i值，利用裂项相消法计算输出S的值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值， ∵输入n=10，∴跳出循环的i值为12， ∴输出S=++…+=++…+=（1﹣）×=． 故选：B． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题． 　 3. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是 （A）(1－，2)     （B）(0，2)     （C）(－1，2)   （D）(0，1+) 参考答案： A 4. 在矩形ABCD中，.若点M,N分别是CD，BC的中点，则 A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： C 5. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cosθ与θ的值． 【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈0，π] 由?（+）=3可得?+=3， 代入数据可得2×1×cosθ+22=3， 解得cosθ=﹣， ∴θ=． 故选：C． 【点评】本题考查了数量积与两个向量的夹角问题，是基础题． 6. 在中，角的对边成等比数列，且，则的面积为（    ）    A、              B、             C、             D、 参考答案： A 7. F1,F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(    ) A.直线        B.圆           C.椭圆       D.双曲线 参考答案： B 8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，设A（a1009，1），B（2，﹣1），C（2，2）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若向量与在向量方向上的投影相同，则S2017为（　　） A．﹣2016 B．﹣2017 C．2017 D．0 参考答案： D 【分析】向量与在向量方向上的投影相同可得?=?，可得a1009=0，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出． 【解答】解：∵A（a1009，1），B（2，﹣1），C（2，2），向量与在向量方向上的投影相同， ∴?=?， ∴2a1009+2=2×2﹣1×2， 即a1009=0， ∴a1+a2017=2a1009=0， ∴S2017=（a1+a2017）=0， 故选：D． 9. 设随机变量X服从正态分布N（0，1），P(X>1)= p,则P(X>－1)= （） (A)p       (B)     1－p      (C) 1－2p      (D) 2p   参考答案： B ∵P(X<－1)= P(X>1),则P(X>－1)= 1－p  . 10. 设，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（    ） A．a      B．b    C．c    D．不确定 参考答案： C 因为b-a=1+x- ,所以b>a;又c-b= = , 则c>b,所以最大的一个是c.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是          ． 参考答案： 12. 棱长为1的正方体中,若E、G分别为、的中点,F是正方形的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内射影的面积的最大值为      。 参考答案： 答案： 13. B.（坐标系与参数方程选做题）若直线与曲线：（为参数，）有两个公共点、，且，则实数的值为         . 参考答案： 2 14. 数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则               . 参考答案： 36 略 15.   A．（不等式选做题）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是__________。   参考答案： 本题考查了绝对值不等式的求解以及转化能力，难度中等。 根据绝对值的几何意义可知，要使不等式恒成立，只需 16. 如图，F1，F2是双曲线C： 的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________________ 参考答案： 略 17. 已知实数x，y满足约束条件（k为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是，则实数k的值是　　． 参考答案： ﹣3 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】我们可以画出满足条件  （k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值． 【解答】解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如图： 由于目标函数z=2x+y的最大值是， 可得直线y=2x+1与直线2x+y=的交点A（，）， 使目标函数z=2x+y取得最大值， 将x=，y=，代入x+y+k=0得： k=﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组）. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°． （1）证明：AB1⊥平面BCC1B1； （2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）过点B1作B1N⊥AB．说明△BNB1为等腰直角三角形，证明AB1⊥BB1．AA1⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB1A1，得到BC⊥AB1，然后证明AB1⊥平面BCC1B1． （2）建立空间直角坐标系A﹣xyz．如图，求出平面ABD的一个法向量．平面BCC1B1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（1）证明：如图，过点B1作B1N⊥AB． ∵∠B1BN=45°， 故△BNB1为等腰直角三角形， ∴B1N=BN=1， ∴，∴， ∴AB1⊥BB1． 又∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC． 又AB⊥BC，且AB∩AA1=A， ∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB1， 又∵BC∩BB1=B， ∴AB1⊥平面BCC1B1． （2）解：如图，建立空间直角坐标系A﹣xyz． ∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），B1（1，0，1），C1（1，2，1），∴， ∴，． 由（1）知，平面BCC1B1的一个法向量为． 设平面ABD的一个法向量为， 则即 令y=1，则∴，． 故二面角A﹣BD﹣C的余弦值为． 19. （本题满分14分）设是的两个极值点，    的导函数是． （1）如果 ，求证：； （2）如果 ，求的取值范围； （3）如果 ，且时，函数的最小值为 ，求的最大值． 参考答案： （1），，是方程的两根， 由且得 得 ……4分 （2）由第（1）问知由，两式相除得                  ……5分 ①当时，由 ， 令函数，则 在上是增函数                 ……8分 ②当 同理可得 综①②得           ……10分 （3），，是方程的两根， 可设   ……12分 ，又 令，当且仅当时取等号 ，当， 在上是减函数，    …… 略 20. 如图1，矩形ABCD中，，M是AB边上异于端点的动点，于点N，将矩形AMND沿MN折叠至处，使面面MBCN（如图2）．点E，F满足． （1）证明：EF∥面A1BC； （2）设，当x为何值时，四面体CMEF的体积最大，并求出最大值． 参考答案： （1）见证明；（2）当时，取得最大值. 【分析】 （1）在面内，过点F作FG交于点G，连接GE.根据线线平行得 面及面，从而得到面面，可证得结论； （2），则BM=2-x，ME=GM=，可证面MEC，得，，由二次函数求得最值即可. 【详解】（1）在面内，过点F作FG交于点G，连接GE. ，，又面，FG面 面. 由得，同理可证得面. 又，面， ∴面面， 又面， 面 （2），则BM=2-x，ME=GM=， 面面MBCN，面面MBCN=NM， 面， 则面MBCN,即面MEC， 又GF面MEC， ， 当时，取得最大值. 【点睛】本题考查了立体几何中的折叠问题及三棱锥的体积最值问题，其中（1）的关键是作出平面与已知面平行，（2）的关键是构造出三棱锥的体积V的表达式，属于中档题. 21. 如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，AB=l，BC=2，CD=1+，过A作AE⊥CD，垂足为E，F、G分别是CE、AD的中点．现将AADE沿4E折起，使平面DAE与平面CAE所成角为135°．     (I)求证：平面DCE⊥平面ABCE；     (Ⅱ)求直线FG与面DCE所成角的正弦值。 参考答案： 略 22. 已知函数，且． (1)求函数f(x)的极值； (2)当时，证明: ． 参考答案： 解:(1)依题意，，，， 故． 令，则或；令，则， 故当时，函数有极大值，当时，函数有极小值． (2)由(1)知，令， 则， 可知在上单调递增，在上单调递减，令， ①当时，，，所以函数的图象在图象的上方． ②当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为2，而，所以函数的图象也在图象的上方． 综上可知，当时，．