湖南省岳阳市大桥中学高一数学理上学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市大桥中学高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正五棱锥的侧面三角形的顶角的取值范围是（   ） （A）( 54 °，72 ° )     （B）( 0 °，72 ° )      （C）( 72 °，90 ° )      （D）不能确定 参考答案： B 2. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=___ ______． 参考答案： 3. 若，则角的终边在 A.第二象限 B.第四象限        C.第二、四象限      D.第三、四象限 参考答案： C 4. 设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部 分表示的集合是(　　) A．{1,3,5}　　  B．{1,2,3,4,5}      C．{7,9}       D．{2,4} 参考答案： D 5. 已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 6. 若且则（  ） A．                  B．           C．0                            D．2 参考答案： A 7. 函数的图象的一部分如图所示，则、的值分别为（    ） A．1， B．1， C．2， D．2， 参考答案： D ∵最小正周期为，∴，得，∴． ∵点在图象上，∴，得，得． 又∵，∴令，得．故选“D”． 8. 定义在上的奇函数满足，且，则的值为（    ）． A．    B．    C．    D． 参考答案： A 由于函数为奇函数且，所以， 又因为，所以，故选． 9. 若三点共线 则的值为（　　） A．　　          B．　　       C．　   　    D．  参考答案： A 略 10. 已知非零向量、满足向量+与向量﹣的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（　　） A． = B．||=||， C．⊥ D．∥ 参考答案： B 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；97：相等向量与相反向量． 【分析】由题意可得 （）⊥（），从而有 （）?（）=﹣=0，从而得到结论． 【解答】解：由题意可得 （）⊥（），∴（）?（）=﹣=0， ∴||=||， 故选  B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若幂函数在上为减函数，则实数m的值是___________ 参考答案： 3 12. 若用斜二测画法作△ABC的水平放置的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为　　． 参考答案： 【分析】作出图形，由图形求出点A到O'的距离，即可得到在平面图中三角形的高，再求面积即可 【解答】解：如下图，在直观图中，有正三角形A′B′C′，其边长为a，故点A到底边BC的距离是a，作AD⊥X′于D，则△ADO′是等腰直角三角形，故可得O'A′=a， 由此可得在平面图中三角形的高为a， 原△ABC的面积为 ×a×a= 故答案为： 13. 已知是定义在上的增函数，当时，有则 。 参考答案： 5 14. 在平面坐标系内，已知点，给出下面的结论；   ①直线与直线平行；②;③；④，其中正确的结论序号是           参考答案： 15. 的值为       ． 参考答案： 16. 已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，6}，且A∩B=　　． 参考答案： {0，1} 【考点】交集及其运算． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={0，1，2，3，4，5}， B={﹣1，0，1，6}， ∴A∩B={0，1}． 故答案为：{0，1}． 17. 首项为3，公差为2的等差数列，前n项和为，则=　　　　。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等比数列{an}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{bn}满足bn=3﹣2log2an． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）令cn=，求数列{cn}的前n项和Sn； （3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的取值范围． 参考答案： 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，根据a1=2，a2=4（a3﹣a4），可得a2=4a2（q﹣q2），化简解得q．可得an．利用对数的运算性质可得bn． （2）cn===．利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出． （3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n?（2n﹣1），令dn=22﹣2n?（2n﹣1），通过作差可得：dn+1＜dn，即数列{dn}单调递减，因此n=1时dn取得最大值d1=1．根据对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，可得2λ2﹣kλ+2＞1，根据λ＞0．可得k＜2，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4）， ∴a2=4a2（q﹣q2），化为：4q2﹣4q+1=0，解得q=． ∴an==22﹣n． ∴bn=3﹣2log2an=3﹣2（2﹣n）=2n﹣1． （2）cn===． ∴数列{cn}的前n项和Sn= [2+3?22+5×23+…+（2n﹣1）?2n]， ∴2Sn= [22+3?23+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1]， ∴﹣Sn==， 可得：Sn=． （3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n?（2n﹣1）， 令dn=22﹣2n?（2n﹣1），则dn+1﹣dn=﹣==＜0， 因此dn+1＜dn，即数列{dn}单调递减，因此n=1时dn取得最大值d1=1． ∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立， ∴2λ2﹣kλ+2＞1，∵λ＞0． ∴k＜2，∵2≥2=2，当且仅当λ=时取等号． ∴． 即k的取值范围是． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、基本不等式的性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 　 19. (本题满分14分)在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东+(其中 sin=，)且与点相距海里的位置C. （Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （Ⅱ）该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域；若进入请求出经过警戒水域的时间，并说明理由. 参考答案： 解：（I）如图，AB=40，AC=10， 由于,所以cos=             ………2分 由余弦定理得BC=    ………4分 所以船的行驶速度为（海里/小时）               ……6分 （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系， 设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1= AB=40,           x2=ACcos, y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40. ………9分 又点E（0，-55）到直线l的距离d= 故该船会进入警戒水域.                                …………12分 进入警戒水域所行驶的路程为海里          ……13分 小时，所以经过警戒水域的时间为小时.    ……14分 解法二:  如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得， ==……8分 从而 在中，由正弦定理得， AQ=…………10分 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离. 在Rt中， PE=QE·sin=…12分 故该船会进入警戒水域. 进入警戒水域所行驶的路程为海里            ………13分 小时，所以经过警戒水域的时间为小时.      ………14分 略 20. 已知数列{an}的前项和为Sn,a1=1且3an+1+2Sn=3（n为正整数). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若对任意的正整数n,恒成立，求实数k的最大值. 参考答案： (1)(n为正整数)    (2) 数列{}单调递增，当n=1时，数列中的最小项为， 实数k的最大值为 21. 已知，，求A∩B． 参考答案： 【考点】交集及其运算． 【分析】根据对数以及指数的运算分别求出A、B，从而求出A∩B即可． 【解答】解： ={x|0＜x≤}， ={x|﹣2≤x≤3}， 故A∩B={x|0＜x≤}． 22. 已知数列{an}中的前n项和为Sn=，又an=log2bn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）根据数列an=Sn﹣Sn﹣1的关系即可求数列{an}的通项公式； （2）先求出数列{bn}通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可． 【解答】解：（1）当n≥2时，… 当n=1时，，也适合上式… ∴数列{an}的通项公式为an=n．… （2）由 an=log2bn，得… 则数列{bn}是公比为2的等比数列， 则数列{bn}的前n项和为：… 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解以及前n项和的计算，根据an=Sn﹣Sn﹣1的关系求出数列的通项公式是解决本题的关键．