河南省洛阳市第四中学2022年高二数学理期末试题含解析

河南省洛阳市第四中学2022年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是（   ） A. 0 B. C. 1 D. 2 参考答案： C 试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出yp+1=2，求得yp． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴yp+1=2， 解得yp=1． 故选：C． 考点：抛物线的简单性质． 2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ）   A.任意一个有理数，它的平方是有理数      B.任意一个无理数，它的平方不是有理数     C.存在一个有理数，它的平方是有理数  D.存在一个无理数，它的平方不是有理数  参考答案： B 3. 在棱长为2的正方体中，动点P在ABCD内，且P到直线AA1，BB1的距离之和等于，则ΔPAB的面积最大值是（     ） A．              B．1                  C．2               D．4 参考答案： B 4. 复数不是纯虚数，则有（  ）          参考答案： C 需要，即。 5. 函数单调递增区间是（    ） A．      B．    C．      D． 参考答案： C 略 6. 设,且,则    （　　） A． B． C． D． 参考答案： D 7. 已知数列对任意的满足，且，那么等于（  ） A． B．   C．    D． 参考答案： B 8. 用数学归纳法证明时，到时，不等式左边应添加的项为（    ） （A）                      （B） （C）        （D） 参考答案： C 9. 设复数（i是虚数单位），则（  ） A. i B. －i C. D. 参考答案： D 【分析】 先化简，结合二项式定理化简可求. 【详解】，，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式. 10. (原创)设,其中.那么“”是“”的(   )   A.充分不必要条件     B.必要不充分条件  C.充要条件       D.非充分非必要条件 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知中，，，的面积为，若线段的延长线上存在点，使，则          ． 参考答案： 12. 若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ____________________    参考答案： 或 13. 三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为，一个小虫从点出发沿表面一圈到达点，则小虫所行的最短路程为_______. 参考答案： 5 略 14. 正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于　　　　　　． 参考答案： 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 空间角． 分析： 取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值． 解答： 解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF， 则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角， 设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0）， 则EF=AB=a，CE=CF=2a?sin60°=a， 在△CEF中， cos∠CEF===． 故答案为：． 点评： 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用． 15. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=　　． 参考答案： 【考点】类比推理． 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可． 【解答】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r ∴r=． 故答案为：． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直线PF1的距离为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】依题意，可求得点P的坐标，继而可求得PF2的长，利用直角三角形的面积公式即可求得答案． 【解答】解：：∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点， ∴F1（﹣3，0），F2（3，0）； 又点P在双曲线上，且PF2⊥x轴， ∴点P的横坐标为3，纵坐标y0=． ∴PF2=． 在直角三角形PF1F2中，PF2=． F1F2=6．∴PF1= ∴F2到直线PF1的距离d===． 故答案为：． 17. 已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是_________. 参考答案： 【分析】 根据分段函数在上单调递减可得 ，且二次函数在 上单调递减，所以，且，从而可得答案。 【详解】由题分段函数在上单调递减可得 又因为二次函数图像开口向上，所以，解得 且， 将代入可得，解得 所以的取值范围是 【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确且属于一般题。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，、是通过某城市开发区中心的两条南北和东西走向的街道，连接、两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧．若点在点正北方向，且，点到、的距离分别为和． （1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程； （2）若该城市的某中学拟在点正东方向选址建分校,考虑环境问题，要求校址到点的距离大于，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）． 参考答案： 解：（1）分别以、为轴，轴建立如图坐标系．据题意得，   线段的垂直平分线方程为： ∵a＞4  ∴ ∴在[0，4]上为减函数，……………………………………12分 ∴要使（﹡）恒成立，当且仅当，…14分 即校址选在距最近5km的地方．…………………………………………………………16分 19. 已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）． （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】（1）求出命题p，q成立时的x的范围，利用充分条件列出不等式求解即可． （2）利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）对于p：A=[﹣1，5]，对于q：B=[1﹣m，1+m]，p是q的充分条件， 可得A?B，∴，∴m∈[4，+∞）． （2）m=5，如果p真：A=[﹣1，5]，如果q真：B=[﹣4，6]，p∨q为真命题，p∧q为假命题， 可得p，q一阵一假， ①若p真q假，则无解； ②若p假q真，则∴x∈[﹣4，﹣1）∪（5，6]． 20. 已知函数y=x3－3x2. （1）求函数的极小值； （2）求函数的递增区间.   参考答案： 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴ =3x2－6x， 当时，；当时，.   ∴ 当x=2时，函数有极小值-4.   （2）由=3x2-6x >0，解得x<0或x>2，    ∴ 递增区间是，. 略 21. （本题12分）如图，在三棱锥中，底面ABC，PA=PB， ∠ABC=60O，∠BCA=90O，点，分别在棱上，且       （Ⅰ）求证：DE⊥平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；   参考答案： 22. 已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2 (1)求a, b, c, d的值；(2)若x≥-2时，f(x) ≤ kg(x)，求k的取值范围。 参考答案： （Ⅰ）由已知得，，，，而，，故，，，，从而，，，； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设函数，则，由题设可得，即，令，得，，  （i）  若，则，从而当时，；当时，。即在单调递减，在单调递增。故在的最小值为。而。故当时，，即恒成立。 （ii）  若，则。从而当时，，即在单调递增。而，故当时，，即恒成立。 （iii）  若，，则在单调递增，而。从而当时，不可能恒成立。 综上所述，的取值范围是。