江苏省扬州市栟茶高级中学2022年高一数学理下学期期末试卷含解析

江苏省扬州市栟茶高级中学2022年高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中是偶函数的是（　　）    A．  B．    C．       D． 参考答案： D 2. 已知向量，且点P分有向线段的比为，则 的坐标是 A.         B.          C.          D. 参考答案： C 略 3. 垂直于同一平面的两条直线一定（    ） A．相交          B．平行          C．异面            D．以上都有可能 参考答案： B 略 4. 已知，则的值为                     (　　) A．100　　　　　   B．10    C．－10      D．－100 参考答案： A 5. 已知直线与圆：相交于点，则弦的长为（     ） A.           B.          C.          D. 参考答案： C 6. 是等差数列的前项和，如果，那么的值是（　　）． A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】85：等差数列的前项和． 【分析】等差数列中，由，知，由此能求出． 【解答】解：等差数列中， ∵， ∴， ∴． 故选． 7. （5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线B1C与A1C1所成角为（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 90° 参考答案： C 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题；空间角． 分析： 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AC∥A1C1，知∠ACB1就是异面直线B1C与A1C1所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线B1C与A1C1所成角． 解答： 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1C、A1C1、AC、AB1， ∵AC∥A1C1， ∴∠ACB1就是异面直线B1C与A1C1所成角或所成角的补角， ∵AC=B1C=AB1， ∴∠ACB1=60°． 故选C． 点评： 本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 8. 函数在以下哪个区间内一定有零点   (    ) A．      B．     C．       D． 参考答案： B 9. 设，，，则（　　） 　 A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c 参考答案： A 10. 设，则“”是“”恒成立的（    ） A．充分不必要条件   B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要 参考答案： A 由题意得，，故“”是“恒成立”的充分不必要条件，故选A．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某产品计划每年成本降低，若三年后成本为元，则现在成本为             参考答案： 12. 若cosα=﹣，则的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】原式利用诱导公式化简 【解答】解：∵cosα=﹣， ∴原式==cosα=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 13. 函数y=loga（x﹣3）﹣2过的定点是　　． 参考答案： （4，﹣2） 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】根据对数函数的图象恒过定点（1，0），求出该题的答案即可． 【解答】解：当x﹣3=1，即x=4时，y=loga（x﹣3）﹣2=0﹣2=﹣2， ∴函数y=loga（x﹣3）﹣2的图象恒过定点（4，﹣2）， 故答案为：（4，﹣2）． 14. 函数的定义域是                    参考答案： 15. 已知函数，则的值为             . 参考答案： 5 略 16. 定义: 区间的长度为. 已知函数的定义域为, 值域为，则区间长度的最大值与最小值的差等于________. 参考答案： 8 17. 方程实根的个数是         . 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 参考答案： 【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义． 【专题】应用题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可； （Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论． 【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时， 未租出的车辆数为， 所以这时租出了88辆车． （Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元， 则租赁公司的月收益为， 整理得． 所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050， 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元． 【点评】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究． 19. （12分）已知向量、满足，且 ，（） （1）求关于k的解析式  （2）若且方向相同，试求k的值 参考答案： （1），且，（） 两边同时平方可得： , , , ，, ， （2）且方向相同， 代入 可得解得：     20. （12分）函数y=f（x）满足lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x）， （1）求f（x）； （2）求f（x）的值域； （3）求f（x）的递减区间． 参考答案： 考点： 对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），可得lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．lgy=3x（3﹣x），即可得出． （2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数，即可得出， （3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为． 解答： （1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x）， ∴lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3． ∴lgy=3x（3﹣x）， ∴f（x）=y=103x（3﹣x），x∈（0，3）． （2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数． ∴， ∴f（x）的值域为． （3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为． 点评： 本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21. 已知函数定义域为，若对于任意的，，都有，且>0时，有>0. ⑴证明: 为奇函数; ⑵证明: 在上为单调递增函数; ⑶设=1,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围. 参考答案： （1）令， 令，，为奇函数          (2） 在上为单调递增函数;                                 (3）在上为单调递增函数，，使对所有恒成立,只要>1,即>0 令 22. 已知锐角△ABC的面积等于3，且AB=3，AC=4． （1）求sin（+A）的值； （2）求cos（A﹣B）的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）利用三角形的面积公式列出关系式，将AB，AC的值代入求出sinA的值，根据A为锐角，求出cosA的值，原式利用诱导公式化简后将cosA的值代入计算即可求出值； （2）利用余弦定理列出关系式，将AB，AC，以及cosA的值代入求出BC的长，再由AC，BC，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵AB=3，AC=4，S△ABC=AB?AC?sinA=×3×4×sinA=3， ∴sinA=， 又△ABC是锐角三角形， ∴cosA==， ∴sin（+A）=cosA=； （2）∵AB=3，AC=4，cosA=， ∴由余弦定理BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=9+16﹣12=13，即BC=， 由正弦定理=得：sinB==， 又B为锐角，∴cosB==， 则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×+×=．