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广东省广州市六中珠江中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩B等于( )
A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{3,9} D.{1,3}
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【分析】运用集合的交集的定义即可得到所求.
【解答】解:集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},
则A∩B={3,9},
故选:C.
【点评】本题考查集合的运算:交集,考查运算能力,属于基础题.
2. 在区间(﹣1,1)上单调递增且为奇函数的是( )
A.y=ln(x+1) B.y=xsinx C.y=x﹣x3 D.y=3x+sinx
参考答案:
D
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性,再确定函数的单调性,即可得到结论
【解答】解:对于A,函数不是奇函数,在区间(﹣1,1)上是增函数,故不正确;
对于B,函数是偶函数,故不正确;
对于C,函数是奇函数,因为y′=1﹣3x2,所以函数在区间(﹣1,1)不恒有y′>0,函数在区间(﹣1,1)上不是单调递增,故不正确;
对于D,以y=3x+sinx是奇函数,且y′=3+cosx>0,函数在区间(﹣1,1)上是单调递增,故D正确
故选:D.
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,正确运用定义是关键
3. 已知角的终边经过点,且,则等于( )
A. B. C.-4 D.
参考答案:
C
4. 函数的定义域为,则函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 在△ABC中,三个角A,B,C的对边分别为a,b,c. 若角A,B,C成等差数列,且边a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对
参考答案:
A
【分析】
先根据成等差数列求得,根据成等比数列结合余弦定理,证得,由此判断三角形为等边三角形.
【详解】由于成等差数列,故,根据三角形内角和定理有.由于成等比数列,故,由余弦定理得,化简得,故,而,所以三角形为等边三角形.
【点睛】本小题主要考查等差中项、等比中项的性质,考查三角形内角和定理,考查三角形形状的判断,属于基础题.
6. 已知函数 ,那么的值为( )
A. 27 B. C. D.
参考答案:
D
略
7. .某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验,则这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.非上述答案
参考答案:
C
略
8. 下列函数中与函数相同的函数是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
可用相等函数两个重要判断依据逐项判断
【详解】A项定义域,定义域不同,A错
B 项,对应关系不同,B错
C 项定义域,定义域不同,C错
D项,定义域和对应关系都相同,D对
故选D
【点睛】本题考查相等函数的判断方法,抓住两点:定义域相同,对应关系相同(化简之后的表达式一致)
9. 已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 若m>n>0,则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足:,且,当时,.给出以下结论:①;②;③f(x)为R上的减函数;④为奇函数;⑤为偶函数.其中正确结论的序号是________.
参考答案:
①②④
【分析】
由题意采用赋值法,可解决①②,在此基础上,根据函数奇偶性与单调性,继续对各个选项逐一验证可得答案.
【详解】由题意和的任意性,取代入,
可得,即,故①正确;
取, 代入可得,即,解得;
再令代入可得,故②正确;
令代入可得,即,故为奇函数,④正确;
取代入可得,即,即,
故为上减函数,③错误;
⑤错误,因为,由④可知为奇函数,故不恒为0,
故函数不是偶函数.
故答案为:①②④
【点睛】本题考查函数的概念及性质,熟记函数的基本性质,灵活运用赋值法进行处理即可,属于常考题型.
12. 已知等比数列{an}的前n项和,则t =______.
参考答案:
2
【分析】
求出,,解方程即得解.
【详解】当n=1时,,
当n≥2时,,适合n=1.
所以.
故答案为:2
【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13. sin2(-x)+sin2(+x)=_________
参考答案:
1
14. 已知,且是第二象限角,则 ;
参考答案:
略
15. (5分)若向量=(2,﹣3)与向量=(x,6)共线,则实数x的值为 .
参考答案:
﹣4
考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据两向量平行的坐标表示,列出方程,求出x的值.
解答: ∵向量=(2,﹣3)与向量=(x,6)共线,
∴2×6﹣(﹣3)x=0;
解得x=﹣4,
∴实数x的值为﹣4.
故答案为:﹣4.
点评: 本题考查了两向量平行的坐标表示的应用问题,是基础题目.
16. 在△ABC中,,,,则 ____ ,△ABC的面积为 .
参考答案:
;
,所以解得,
又,则,所以,所以。
17. 函数的定义域是 ,单调递减区间是 .
参考答案:
(﹣∞,0)∪(2,+∞),(2,+∞).
【考点】复合函数的单调性;函数的定义域及其求法.
【分析】由函数的解析式可得x2﹣2x>0,由此求得函数的定义域;函数y的减区间,即函数t=x2﹣2x=(x﹣1)2+1在y的定义域内的增区间,再利用二次函数的性质可得结论.
【解答】解:由函数,可得x2﹣2x>0,求得x<0,或 x>2,故函数的定义域为{x|x<0,或 x>2}.
函数的减区间,即函数t=x2﹣2x=(x﹣1)2+1在y的定义域内的增区间,
再利用二次函数的性质可得t在定义域内的增区间为(2,+∞),
故答案为:(﹣∞,0)∪(2,+∞);(2,+∞).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度(单位:)和燃料的质量(单位:),火箭(除燃料外)的质量(单位:)满足.(为自然对数的底)
(Ⅰ)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量两倍时,求火箭的最大速度(单位:);
(Ⅱ)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量多少倍时,火箭的最大速度可以达到8.(结果精确到个位,数据:)
参考答案:
19. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2.
(Ⅰ) 求角A的大小;
(Ⅱ) 若b+c=2,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得,由0<B+C<π,可求,进而可求A的值.
(Ⅱ)根据余弦定理,得a2=(b﹣1)2+3,又b+c=2,可求范围0<b<2,进而可求a的取值范围.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由已知得,
化简得,
整理得,即,
由于0<B+C<π,则,
所以.
(Ⅱ)根据余弦定理,得
=b2+c2+bc
=b2+(2﹣b)2+b(2﹣b)
=b2﹣2b+4
=(b﹣1)2+3.
又由b+c=2,知0<b<2,可得3≤a2<4,
所以a的取值范围是.
20. 规定[t]为不超过t的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对实数x,令f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令f2(x)=f1(g(x)).
(1)若x=,分别求f1(x)和f2(x);
(2)若f1(x)=1,f2(x)=3同时满足,求x的取值范围.
参考答案:
(1)当x=时,4x=,
∴f1(x)==1,g(x)=-=,
∴f2(x)=f1[g(x)]=f1=[3]=3.
(2)由f1(x)=[4x]=1,得g(x)=4x-1,
于是f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3.
∴
∴≤x<.
21. 如图1,在△ABC中,,,点D是BC的中点.
( I)求证:;
( II)直线l过点D且垂直于BC,E为l上任意一点,求证:为常数,并求该常数;
( III)如图2,若,F为线段AD上的任意一点,求的范围.
参考答案:
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】( I)延长AD到A1使得AD=DA1,连接CA1,A1B,证明四边形ACA1B是平行四边形,即可证明:;
( II)证明?(﹣)=(+)?(﹣)=?+?,即可得出:为常数,并求该常数;
(III)确定?(+)=2x(﹣x),利用基本不等式,求的范围.
【解答】(I)证明:延长AD到A1使得AD=DA1,连接CA1,A1B,
∵D是BC的中点,
∴四边形ACA1B是平行四边形,
∴=+,
∵;
(II)证明:∵=+,
∴?(﹣)=(+)?(﹣)=?+?,
∵DE⊥BC,∴?=0,
∵?=()=,
∴?(﹣)=
(III)解:△ABC中,||=2,||=1,cosA=,,
∴||==,
同理+=2,
∴?(+)=?2=||?||,
设||=x,则||=﹣x(0),
∴?(+)=2x(﹣x)≤2=1,当且仅当x=时取等号,
∴?(+)∈(0,1].
22. (本题满分10分)已知函数是定义在上的奇函数,且
(1)确定函数的解析式;
(2)解不等式
参考答案:
(1),
所以
又
所以。
(2)
即。
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