广东省广州市六中珠江中学高一数学理测试题含解析

广东省广州市六中珠江中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B等于（　　） A．{1，5，7} B．{3，5，7} C．{3，9} D．{1，3} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【分析】运用集合的交集的定义即可得到所求． 【解答】解：集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}， 则A∩B={3，9}， 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算：交集，考查运算能力，属于基础题． 2. 在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（　　） A．y=ln（x+1） B．y=xsinx C．y=x﹣x3 D．y=3x+sinx 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论 【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确； 对于B，函数是偶函数，故不正确； 对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确； 对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确 故选：D． 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键 3. 已知角的终边经过点，且，则等于（   ） A．     B．      C．-4      D． 参考答案： C 4. 函数的定义域为，则函数的定义域是 A．          B．         C．           D． 参考答案： D 5. 在△ABC中，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为（  ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 参考答案： A 【分析】 先根据成等差数列求得，根据成等比数列结合余弦定理，证得，由此判断三角形为等边三角形. 【详解】由于成等差数列，故，根据三角形内角和定理有.由于成等比数列，故，由余弦定理得，化简得，故，而，所以三角形为等边三角形. 【点睛】本小题主要考查等差中项、等比中项的性质，考查三角形内角和定理，考查三角形形状的判断，属于基础题. 6. 已知函数  ，那么的值为(　　) A．  27    B．      C．     D． 参考答案： D 略 7. ．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样         B．分层抽样    C．系统抽样    D．非上述答案 参考答案： C 略 8. 下列函数中与函数相同的函数是(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 可用相等函数两个重要判断依据逐项判断 【详解】A项定义域，定义域不同，A错 B 项，对应关系不同，B错 C 项定义域，定义域不同，C错 D项，定义域和对应关系都相同，D对 故选D 【点睛】本题考查相等函数的判断方法，抓住两点：定义域相同，对应关系相同（化简之后的表达式一致） 9. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是(     ) A. B. C. D.    参考答案： C 10. 若m>n>0，则下列不等式正确的是     A.                  B.     C．      D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，.给出以下结论:①;②;③f(x)为R上的减函数;④为奇函数;⑤为偶函数.其中正确结论的序号是________. 参考答案： ①②④ 【分析】 由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上，根据函数奇偶性与单调性，继续对各个选项逐一验证可得答案． 【详解】由题意和的任意性，取代入， 可得，即，故①正确； 取， 代入可得，即，解得； 再令代入可得，故②正确； 令代入可得，即，故为奇函数，④正确； 取代入可得，即，即， 故为上减函数，③错误； ⑤错误，因为，由④可知为奇函数，故不恒为0， 故函数不是偶函数. 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的基本性质，灵活运用赋值法进行处理即可，属于常考题型. 12. 已知等比数列{an}的前n项和，则t =______. 参考答案： 2 【分析】 求出，，解方程即得解. 【详解】当n=1时，， 当n≥2时，，适合n=1. 所以. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. sin2（－x）+sin2（+x）=_________ 参考答案： 1 14. 已知，且是第二象限角，则             ； 参考答案： 略 15. （5分）若向量=（2，﹣3）与向量=（x，6）共线，则实数x的值为             ． 参考答案： ﹣4 考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值． 解答： ∵向量=（2，﹣3）与向量=（x，6）共线， ∴2×6﹣（﹣3）x=0； 解得x=﹣4， ∴实数x的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 点评： 本题考查了两向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目． 16. 在△ABC中，，，，则     ____  ，△ABC的面积为          ． 参考答案： ； ，所以解得， 又，则，所以，所以。   17. 函数的定义域是　　，单调递减区间是　　． 参考答案： （﹣∞，0）∪（2，+∞）,（2，+∞）. 【考点】复合函数的单调性；函数的定义域及其求法． 【分析】由函数的解析式可得x2﹣2x＞0，由此求得函数的定义域；函数y的减区间，即函数t=x2﹣2x=（x﹣1）2+1在y的定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得结论． 【解答】解：由函数，可得x2﹣2x＞0，求得x＜0，或 x＞2，故函数的定义域为{x|x＜0，或 x＞2}． 函数的减区间，即函数t=x2﹣2x=（x﹣1）2+1在y的定义域内的增区间， 再利用二次函数的性质可得t在定义域内的增区间为（2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）；（2，+∞）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）,火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足.（为自然对数的底） （Ⅰ）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量两倍时，求火箭的最大速度（单位：）； （Ⅱ）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量多少倍时，火箭的最大速度可以达到8.（结果精确到个位，数据：） 参考答案： 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2． （Ⅰ） 求角A的大小； （Ⅱ） 若b+c=2，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由0＜B+C＜π，可求，进而可求A的值． （Ⅱ）根据余弦定理，得a2=（b﹣1）2+3，又b+c=2，可求范围0＜b＜2，进而可求a的取值范围． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得， 化简得， 整理得，即， 由于0＜B+C＜π，则， 所以． （Ⅱ）根据余弦定理，得 =b2+c2+bc =b2+（2﹣b）2+b（2﹣b） =b2﹣2b+4 =（b﹣1）2+3． 又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4， 所以a的取值范围是． 20. 规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))． (1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)； (2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围． 参考答案： (1)当x＝时，4x＝， ∴f1(x)＝＝1，g(x)＝－＝， ∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3. (2)由f1(x)＝[4x]＝1，得g(x)＝4x－1， 于是f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3. ∴ ∴≤x<． 21. 如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点． （ I）求证：； （ II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数； （ III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围． 参考答案： 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】（ I）延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，证明四边形ACA1B是平行四边形，即可证明：； （ II）证明?（﹣）=（+）?（﹣）=?+?，即可得出：为常数，并求该常数； （III）确定?（+）=2x（﹣x），利用基本不等式，求的范围． 【解答】（I）证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B， ∵D是BC的中点， ∴四边形ACA1B是平行四边形， ∴=+， ∵； （II）证明：∵=+， ∴?（﹣）=（+）?（﹣）=?+?， ∵DE⊥BC，∴?=0， ∵?=（）=， ∴?（﹣）= （III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，， ∴||==， 同理+=2， ∴?（+）=?2=||?||， 设||=x，则||=﹣x（0）， ∴?（+）=2x（﹣x）≤2=1，当且仅当x=时取等号， ∴?（+）∈（0，1]． 22. （本题满分10分）已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）确定函数的解析式; （2）解不等式 参考答案： （1）， 所以 又 所以。 （2）     即。