山东省临沂市第十四中学高二数学理测试题含解析

山东省临沂市第十四中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为(　　) A．81    B．120   C．168  D．192 参考答案： B 2. 若直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0没有公共点，则m的值是（　　） A．﹣2 B．1 C．1或﹣2 D．2或﹣1 参考答案： B 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】方程思想；转化思想；直线与圆． 【分析】利用两条直线平行的充要条件即可得出． 【解答】解：∵直线x+（1+m）y+m﹣2=0与直线2mx+4y+16=0没有公共点， ∴两条直线平行． 两条直线方程分别化为：y=﹣x+，y=﹣mx﹣4，（1+m≠0）， ∴﹣=﹣，≠﹣4， 解得m=1． 故选：B． 【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3. 函数在点处的切线方程为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程． 【详解】解：函数f (x)＝cosx的导数为f′（x）＝﹣sinx， 即有在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝﹣sin0＝0， 切点为（0，1）， 则在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝， 即为y－1＝0． 故选：C． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考查运算能力，属于基础题． 4. 若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（    ）． A. B. C. D. 参考答案： C 若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥． 故选：C． 5. 现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题． 【分析】利用排列求出所有的基本事件的个数，再求出K，S都不在盒中的放法，利用古典概型概率公式及对立事件的概率公式求出K或S在盒中的概率 【解答】解：将5个不同的球随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，所有的放法有A53=60 K，S都不在盒中的放法有A33=6 设“K或S在盒中”为事件A 则P（A）= 故选D 【点评】本题考查利用排列求事件的个数、古典概型的概率公式、对立事件的概率公式． 6. 若等差数列{an}和等比数列{bn}满足，则（    ） A. －1 B. 1 C. －4 D. 4 参考答案： B 【分析】 根据等差数列与等比数列的通项公式，求出公差与公比，进而可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，解得，因此， 所以. 故选B 7. 若在上是减函数，则的取值范围是（   ） A．     B．      C．    　D． 参考答案： C 略 8. 圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（　　） A．一个点 B．椭圆 C．双曲线 D．以上选项都有可能 参考答案： C 【考点】轨迹方程． 【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键． 【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点 线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q， 则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R， 即动点Q到两定点O、A的距离差为定值， 根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线 故选：C． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，它的准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为 A．          B．            C．             D． 参考答案： B 略 10. 函数的最小值为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】因为，所以， 由得；由得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 此时函数有极小值，也即是最小值为. 故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数单调性，以及函数最值即可，属于常考题型. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 写出“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判其真假. 参考答案： 12. 已知条件p : x≤1，条件q：<1，则p是q的             条件 参考答案： 充分不必要 略 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知A= ，cosB=，若BC=10，D为AB的中点，则CD=　　． 参考答案：   【考点】余弦定理． 【分析】利用正弦定理可得：b，c，再利用中线长定理即可得出． 【解答】解：如图所示， ∵cosB=，B∈（0，π）， ∴=． sinC=sin（B+）==． 由正弦定理可得： =，∴ =6，c==14． 由中线长定理可得：a2+b2=2CD2+， ∴=2CD2+， 解得CD=． 故答案为：． 　 14. 已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线.给出以下四个论断：（1）；（2）；（3）；（4）. 以以上四个论断中的三个作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________. 参考答案： 略 15. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_________． 参考答案： 略 16. 观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为_____． 参考答案： 0，7 【分析】 通过已知的式子，可以发现个位上的数呈周期性变化，周期为4， 求出的余数，这样可以判断出的末两位数字. 【详解】因为，，，，，所以可以看出来个位上的数呈周期性变化，周期为4，因为的余数为1，故的末两位数字为0，7. 【点睛】本题考查了个位上的数的周期性变化规律，考查了合情推理. 17. 若复数（i为虚数单位），若，则复数W的共轭复数是________. 参考答案： 【分析】 求解出复数，利用共轭复数的定义求得结果. 【详解】由题意知： 本题正确结果： 【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够通过复数运算求解出复数，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取1个,不放回的取两次,       求:(1)第一次取到新球的概率.        (2)第二次取到新球的概率.        (3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率. 参考答案： (1) ； (2)3/5; (3)1/2 设第i次取到新球为事件，第j次取到旧球为事件.  （i,j=1，2）    （1）                  -----4分    （2） 第二次取到新球为C事件，               ----8分    （3）                        ----12分 19. 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5， n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5； ∵an=bn+bn+1， ∴an﹣1=bn﹣1+bn， ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a1=b1+b2， ∴11=2b1+3， ∴b1=4， ∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）cn===6（n+1）?2n， ∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①， ∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②， ①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2， ∴Tn=3n?2n+2． 20. 数列是递增的等比数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求证:数列是等差数列. 参考答案： （1）； (2)所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列. 21. （本大题满分13分） 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程. 参考答案： 解：（1）由已知双曲线C的焦点为         由双曲线定义              所求双曲线为 （2）设，因为、在双曲线上 ① ②            ①－②得      弦AB的方程为即  经检验为所求直线方程.        略 22. 已知函数（x∈是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围． 【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞， =（x1﹣x2）（） ∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1， ∴x1﹣x2＜0，＞0， ∴f（x1）＜f（x2） ∴函数f（x）在 ①g（x）在上单调递增，且g（x）＞0， ②g（x）在上单调递减，且g（x）＞0， 无解 综上所述 【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．