山东省东营市油郭中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析

山东省东营市油郭中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图, 正三棱柱的主视图(又称正视图)是边长为４的正方形, 则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为(      ) A．        B．  　　 C．         D．16 参考答案： A 略 2. 一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是（   ） A、    B、       C、         D、 参考答案： C 3. 等差数列中，，＝12，则等于 (　　) A．－3      B．3      C．      D．－ 参考答案： B 略 4. 如图，直二面角中，，垂足分别为， 且，则的长等于                                      （   ） A．                     B． C．                       D． 参考答案： B 5. 在△ABC中，∠A=60°，，b=4，满足条件的△ABC A.无解                  B.有解                 C.有两解                     D.不能确定 参考答案： A 如图，在△ABC中，∠A=60°，，b=4，则AB边的高，高满足条件的△ABC不存在，故选择A.   6. 下列推理是归纳推理的是(　　) A. A、B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆 B. 由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C. 由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 参考答案： B 略 7. 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　） Ａ．       Ｂ．     Ｃ．     Ｄ． 参考答案： B 略 8. 设满足约束条件,则的最大值为（    ） A． 5            B. 3           C. 7           D. -8 参考答案： C 略 9. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余.记为.若，，则b的值可以是（    ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 参考答案： A 【分析】 先利用二项式定理将a表示为，再利用二项式定理展开，得出a除以10的余数，结合题中同余类的定义可选出合适的答案。 【详解】 ， 则，所以，除以的余数为， 以上四个选项中，除以的余数为，故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理，考查数的整除问题，解这类问题的关键就是将指数幂的底数表示为与除数的倍数相关的底数，结合二项定理展开式可求出整除后的余数，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。 10. 在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（    ） A.           B.          C.                   D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列函数中，对定义域内任意恒成立的有：①；②；③；④；              （填序号） 参考答案： ①②④ 12. 已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________. 参考答案： 4 略 13. （4分）（已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为　_________　． 参考答案： 14. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________． 参考答案： (－ln 2，2) 15. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点 若，则=        . k*s5*u 参考答案： 8 略 16. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点、，则弦长等于                 . 参考答案： 略 17. 若曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是　   　． 参考答案： （0，+∞） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先求函数f（x）=ax3+ln（﹣2x）的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围． 【解答】解：∵f′（x）=3ax2+（x＜0）， ∵曲线f（x）=ax3+ln（﹣2x）存在垂直于y轴的切线， ∴f′（x）=3ax2+=0有负解， 即a=﹣有负解， ∵﹣＞0， ∴a＞0， 故答案为（0，+∞）． 【点评】本题考察了导数的几何意义，转化化归的思想方法，解决方程根的分布问题的方法． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。 1           1         　　　　　　 2 　　2 2　　　　　　　      　  1 1　　　 1　　1　 1 1 　　　　   　　2　　　　   1　　　　 2　　   正视图　　　侧视图　 　俯视图　 参考答案： 解：由三视图可知为组合体，上、下部分均为长方体 V＝2×2×1×1=4 19. （本小题满分8分）已知复数。 （1）求及 ；（2）若，求实数的值 参考答案： 解：（1）……………………………3分 …………………………………………5分 （2）由得 …………7分 所以 ……………………8分 略 20. 如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA垂直于平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB. (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：EC∥平面PAB. 参考答案： 证明　(1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点， ∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC， ∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点， ∴EF∥CD，∴EF⊥PC. ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF. (2)方法一　 如图，取AD的中点M， 连接EM，CM. 则EM∥PA. ∵EM?平面PAB，PA?平面PAB， ∴EM∥平面PAB. 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM， ∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB. ∵MC?平面PAB，AB?平面PAB， ∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M， ∴平面EMC∥平面PAB. ∵EC?平面EMC， ∴EC∥平面PAB. 方法二　 如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接PN. ∵∠NAC＝∠DAC＝60°， AC⊥CD，∴C为ND的中点． ∵E为PD的中点，∴EC∥PN. ∵EC?平面PAB，PN?平面PAB， ∴EC∥平面PAB. 略 21. 已如变换T1对应的变换矩阵是，变换T2对应的变换矩阵是. （Ⅰ）若直线先经过变换T1，再经过变换T2后所得曲线为C，求曲线C的方程； （Ⅱ）求矩阵的特征值与特征向量. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析 【分析】 （Ⅰ）先求出变换矩阵，然后设曲线上一点，列出方程即可得到方程； （Ⅱ）先利用多项式求出特征根，然后求出特征向量. 【详解】解：（Ⅰ）， 在曲线上任取一点，在变换的作用下得到点， 则即， 整理得， 则即 代入中得. （Ⅱ）矩阵的特征多项式为， 令得或， ①当时，由，得即 令，则. 所以矩阵的一个特征向量为； ②当时，由，得，即 令，则.所以矩阵的一个特征向量. 【点睛】本题主要考查矩阵变换，特征值和特征向量的相关运算.意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等. 22. （本小题满分12分）设命题：函数的定义域为；命题： 不等式对一切正实数均成立。 （Ⅰ）如果是真命题，求实数的取值范围； （Ⅱ）如果命题“或”为真命题且“且”为假命题，求实数的取值范围。 参考答案： 解：（1）恒成立 （2） “p或q”为真命题且“p且q”为假命题，即p，q一真一假 故 略