四川省自贡市和平中学2022年高一数学理联考试卷含解析

四川省自贡市和平中学2022年高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(　　) A．第一象限角　　 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角 参考答案： C [由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．] 2. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．5盏   B．4盏  C．3盏   D．2盏 参考答案： C 设塔顶的a1盏灯， 由题意{an}是公比为2的等比数列， ∴S7==381， 解得a1=3． 故选：C．   3. 如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为(　　) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 参考答案： C 4. sin 420°的值是(　　) 参考答案： B 5. 函数在上增函数，则的取值范围是   A.               B．        C.               D．  参考答案： 6. 三个数，，之间的大小关系是(    ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用“分段法”比较出三者的大小关系. 【详解】由于，，， 所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 7. 设函数，则满足的x的取值范围是 A．，2]                     B．[0，2]                  C．[1，+]                     D．[0，+] 参考答案： B 略 8. 已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递增，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可． 【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5． 所以，即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）， 所以函数f（x）在[﹣3，0]上单调递减，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m﹣1）2﹣1＜0， 所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得， ， 解得． 故选：D 9. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 A．   B．   C．   D． 参考答案： A 10. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，且，则的最大值为_____． 参考答案： 2 【分析】 由，为定值，运用均值不等式求的最大值即可. 【详解】,, ,当且仅当时，等号成立， 即， 而，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题. 12. 已有无穷等比数列{an}的各项的和为1，则a2的取值范围为__________． 参考答案： 【分析】 根据无穷等比数列的各项和表达式，将用公比表示，根据的范围求解的范围. 【详解】因为且，又，且，则. 【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题. 13. 在△ABC中，，D是AC上一点，，且，则          ． 参考答案： －4 △ABC中，∵cosC=，cos∠DBC=， ∴sinC=，sin∠DBC=， ∵∠BDC=π﹣C﹣∠DBC， ∴∠BDA=C+∠DBC， ∴cos∠BDA=cos（C+∠DBC ）=cosC?cos∠DBC﹣sinC?sin∠DBC =×﹣=， ∴∠BDA=． 设DC=x，BC=a， 在△BDC中，由正弦定理得， ∴a=， 在△ABC中，AC=3x，BC=，AB=2， ∴cosC==，解得x=1，∴AD=2，CB=， ∴=2??cos（π﹣C）=2?（﹣cosC）=﹣2?=﹣4． 故填－4.   14. 关于函数，给出下列三个结论： ①对于任意的x∈R，都有； ②对于任意的x∈R，都有； ③对于任意的x∈R，都有． 其中，全部正确结论的序号是　   　． 参考答案： ①②③ 【考点】正弦函数的图象． 【分析】根据三角函数的图象和性质进行判断即可． 【解答】解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确， ②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确 ③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确， 故答案为：①②③． 15. 定义一种运算：(a1，a2)(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(，2sinx)(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_______. 参考答案： 略 16. 如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形．若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为        ． 参考答案： 17. 计算_________. 参考答案：       三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 驻马店市政府委托市电视台进行“创建森林城市”知识问答活动,市电视台随机对该市15～65岁的人群抽取了n人,绘制出如图1所示的频率分布直方图,回答问题的统计结果如表2所示. （1）分别求出a,b,x,y的值； （2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人,则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人? （3）在(2)的条件下,电视台决定在所抽取的7人中随机选2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率. 参考答案： （1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）. 【分析】 （1）先计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算的值. （2）根据分层抽样规律得到从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人 （3）排出所有可能和满足条件情况，得到概率. 【详解】（1）依题和图表： 由得：， 由得：， 由得：， 由得：， 由得：， 故所求，，，. （2）由以上知:第二、三、四、五组回答正确的人数分别为:180人,270人,90人,90人 用分层抽样抽取7人,则: 从第二组回答正确的人中应该抽取: 人， 从第三组回答正确的人中应该抽取：人， 从第四组回答正确的人中应该抽取: 人， 从第五组回答正确的人中应该抽取: 人， 故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取:2人,3人,1人,1人； （3）设从第二组回答正确的人抽取的2人为: ， 从第三组回答正确的人抽取的3人为: 从第四组回答正确的人抽取的1人为: 从第五组回答正确的人抽取的1人为: 随机抽取2人,所有可能的结果有: ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个基本事件，其中第二组至少有1人被抽中的有：，，，，，，，，，，共这11个基本事件. 故抽取的人中第二组至少有1人获得幸运奖的概率为：. 【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力. 19. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】（Ⅰ）由函数的零点列式得到?ω+φ=kπ，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求； （Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解即可求得k的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，f（）=2sin（?ω+φ）=0，即?ω+φ=kπ，① ，即T=，得ω=2，代入①得φ=，取k=1，得φ=． ∴f（x）=2sin（2x）； （Ⅱ）∵x∈[，]，∴∈[]，得f（x）∈[﹣1，]． 由f（x）+log2k=0，得log2k=﹣f（x）∈[﹣1，]． ∴k∈[，]． 20. 某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润万元；投资B项目n万元可获得利润（40﹣n）2（40﹣n）万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？ 参考答案： 【考点】函数最值的应用． 【分析】设x万元投资于A项目，用剩下的（40﹣x）万元投资于B项目，根据已知求出利润W与x之间的函数关系式，进而根据二次函数的图象和性质，求出函数的最值点及最值． 【解答】解：设投资x万元于A项目，则投资（40﹣x）万元于B项目，… 总利润… =﹣x2+30x+100=﹣（x﹣15）2+325… 当x=15时，Wmax=325（万元）． 所以投资A项目15万元，B项目25万元时可获得最大利润，最大利润为325万元．… 21. （本小题满分14分） 已知数列是等差数列， （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设的前n项和，求n的值。 （Ⅲ）若分别为等比数列的第1项和第2项，求的通项公式及前n项和。 参考答案： （Ⅲ）若分别为等比数列的第1项和第2项，求的通项公式及前n项和。 由上知，由题意知，公比  ，，。。。。。。。。。（10分）     ，。。。。。。。。。 （11分）  ＝。。。。。。。。 （14分）   22. （本小题满分13分）     已知函数..     （Ⅰ）求函数的单调递减区间；          （Ⅱ）将的图像向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像，求的对称轴； （Ⅲ）若，，求的值． 参考答案： (Ⅰ)∵.         即                       ……………2分        由得        ∴的递减区间为 .   ……………4分     (Ⅱ)                                ……………6分          由         的对称轴方程为            …………