2022年山西省长治市王庄矿中学高二数学理月考试题含解析

2022年山西省长治市王庄矿中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 双曲线的焦距是（　　） A．8     B．4     C．        D．2 参考答案： A 2. 一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图不可能为（　　） A．正方形 B．圆 C．等腰三角形 D．直角梯形 参考答案： D 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】分别令几何体为正四棱柱，圆柱和底面为等腰直角三角形的三棱柱，可判断A，B，C的真假，令底面是直角梯形，结合三视图的定义，可判断正视图和俯视图中有一个应该是矩形中有一条实线（或虚线）的情况，可判断D的真假． 【解答】解：如果该几何体是一个正四棱柱，则其左视图必为正方形，故A错误 如果该几何体是一个圆柱，则其左视图必为圆，故B错误 如果该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱，则其左视图必为等腰三角形形，故C错误 如果该几何体的左视图为直角梯形，则其正视图和俯视图中有一个矩形中应该有一条实线（或虚线），故D正确 故选D 3. 在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于(　　) A．12　　　　　　B.        C．28　　　　　　D．6 参考答案： D 略 4. 若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（    ）． A．         B．        C．         D． 参考答案： A 5. 设随机变量X的分布列如表，则E(X) 等于(　　) X －1 0 1 P p   A. B. C. D. 不确定 参考答案： A 【分析】 根据随机变量的分布列求出，再求 【详解】根据随机变量的分布列可知，解得 所以 故选A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，属于简单题。 6. 已知复数的实部为－1，虚部为2，则的共轭复数是（    ） A．         B．       C．       D． 参考答案： B 7. 在复平面内，复数对应的点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： B 【分析】 运用复数乘法的运算法则，化简复数，最后确定复数所对应的点所在的象限. 【详解】，因此复数对应点的坐标为，在第二象限，故本题选B. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，以及复数对应点复平面的位置. 8. 过直线y＝2x上一点P作圆M： (x－3)2＋(y－2)2＝的两条切线l1，l2，A，B为 切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB等于(　　) A．30°           B．45°         C．60°         D．90° 参考答案： C 9. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　） A．方程x3+ax+b=0没有实根 B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 参考答案： A 【考点】R9：反证法与放缩法． 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可． 【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， ∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根． 故选：A． 10. 观察下列不等式            ……     照此规律，第五个不等式为______________. 参考答案： ＜     略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线与坐标轴围成的面积是___________. 参考答案： B 略 12. 若，则的值为          ． 参考答案： －1 13. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是　    　． 参考答案： 略 14. 已知点M(2，2)，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为　    　． 参考答案： 2或6 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】分类讨论，利用|PF|+|PM|的最小值为5，求出p的值． 【解答】解：M在抛物线的内部时，∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离， ∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到到准线的距离l=2+=5， 解得p=6， M在抛物线的外部时，|MF|=5， =5，∴p=2 综上所述，p=2或6． 故答案为：2或6． 【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 15. 用火柴棒按图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是　　． 参考答案： an=2n+1 【考点】归纳推理． 【分析】由题设条件可得出三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，所以所用火柴棒数an 是一个首项为3，公差为2的等差数列，由此易得火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式 【解答】解：由题意，三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个， 所以所用火柴棒数an 与是一个首项为3，公差为2的等差数列 所以火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是an=3+2（n﹣1）=2n+1 故答案为 an=2n+1 16. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是_________. 参考答案： 略 17. 设函数定义在上，，导函数，．则的最小值是         . 参考答案： 1 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）某高中有高级教师96人，中级教师144人，初级教师48人，为了进一步推进高中课程改革，邀请甲、乙、丙、丁四位专家到校指导。学校计划从所有教师中采用分层抽样办法选取6名教师分别与专家一对一交流，选出的6名教师再由专家随机抽取教师进行教学调研。 （1）求应从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽取几人； （2）若甲专家选取了两名教师，这两名教师分别是高级教师和中级教师的概率； （3）若每位专家只抽一名教师，每位教师只与其中一位专家交流，求高级教师恰有一人被抽到的概率。 参考答案： （1）从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目之比为：96:144:48=2:3:1 得：从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目分别为2,3,1…………2分. （2）设抽取的6人中高级教师为，中级教师为，初级教师为； 则甲抽取2两名教师所有可能的结果为：，， ，，，，，，，， ，，，共种； 其中甲抽取到一名高级教师和一名中级教师结果为：， ，，，共6种 所以甲抽取到一名高级教师和一名中级教师的概率为 （3）抽取4名教师所有可能的结果为 ,,,,, 其中高级教师恰有一人被抽到的结果有8种，则高级教师恰有一人被抽到的概率是 19. 已知数列{an}满足an=3an﹣1+3n﹣1（n∈N*，n≥2）且a3=95． （1）求a1，a2的值； （2）求实数t，使得bn=（an+t）（n∈N*）且{bn}为等差数列； （3）在（2）条件下求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（1）当n=2时，a2=3a1+8，当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95，可得a2=23，代入即可求得a1=5； （2）由等差数列的性质可知：bn﹣bn﹣1=（an+t）﹣（an﹣1+t）=（an+t﹣3an﹣1﹣3t）=（3n﹣1﹣2t）．可知：1+2t=0，即可求得t的值； （3）由等差数列的通项公式可得bn=+（n﹣1）=n+，求得an=（n+）3n+，采用分组求和及“错位相减法”即可求得数列{an}的前n项和Sn． 【解答】解：（1）当n=2时，a2=3a1+8， 当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95， ∴a2=23， ∴23=3a1+8， ∴a1=5； （2）当n≥2时，bn﹣bn﹣1=（an+t）﹣（an﹣1+t）=（an+t﹣3an﹣1﹣3t）=（3n﹣1﹣2t）． 要使{bn}为等差数列，则必须使1+2t=0， ∴t=﹣， 即存在t=﹣，使数列{bn}为等差数列． （3）∵当t=﹣，时，数列{bn}为等差数列，且bn﹣bn﹣1=1，b1=， ∴bn=+（n﹣1）=n+， ∴an=（n+）3n+， 于是，Sn=×3+32+…+?3n+×n， 令S=3×3+5×32+…+（2n+1）?3n，① 3S=3×32+5×33+…+（2n+1）?3n+1，② ①﹣②得﹣2S=3×3+3×32+2×33+…+2?3n﹣（2n+1）?3n+1，② 化简得S=n?3n+1， ∴Sn=+=， 数列{an}的前n项和Sn，Sn=． 20. 已知函数且，若函数的图象过点(2,24)． (1)求a的值及函数的零点； (2)求的解集． 参考答案： （1）a=3  ,零点为0； （2）[1,+∞). 【分析】 （1）将点代入函数，可求得a的值，直接求f（x）=0的根，即得f（x）的零点； （2）根据函数y=3u-3，u=x+1是增函数，可知是增函数，根据函数的单调性，求解满足不等式得x的解集. 【详解】因为函数且，图象过点， 所以，即，得． 函数，得，． 所以函数的零点是0． 由得，即， 所以． 则的解集为． 【点睛】本题考查了求函数的零点问题，考查了与指数函数有关的不等式的解法，涉及了指数函数的单调性和简单的复合函数的单调性；复合函数的单调性满足“同增异减”原则， 若指数不等式的类型为 ，则当时， ，当时，. 21. 已知是一次函数，且满足   (Ⅰ)求； (Ⅱ)若F(x)为奇函数且定义域为R，且x＞0时，F(x)=f(x)，求F(x)的解析式. 参考答案： 解 (Ⅰ)设，则       ……………3分    故，  解得，    ∴          ……………………………………………6分 (Ⅱ) ∵ F(x)为奇函数，∴F(-x)=-F(x)  …………………………………8分      当x=0时，F(-0)=-F(0)，即F(0)=0………………………………10分      当x＜0时，-x＞0        F(x)=-F(-x)=-[2(-x)+7]=2x-7，…………………………………13分      故，F(x)=.   ………………………………………14分 22. 已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4． （Ⅰ）求证：BD⊥A1C； （Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值； （Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AA1，BD⊥AC，从而得到BD⊥平面A1AC，由此能证明BD⊥A1C． （Ⅱ） 以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值． （Ⅲ）设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．利用向量法能求出当=时，平面A1CD1⊥平面PBD． 【解答】（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为