2022-2023学年山西省长治市广通中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年山西省长治市广通中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列关于基本的逻辑结构说法正确的是（    ） A．一个算法一定含有顺序结构；   B.一个算法一定含有选择结构； C.一个算法一定含有循环结构；    D. 以上都不对. 参考答案： A 略 2. 己知是夹角为的两个单位向量，，若，则m为：（  ） A．2            B．-2              C．1            D．-1 参考答案： D 略 3. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ） A．         B．        C．4         D．8 参考答案： B 4. 抛物线的焦点坐标是 A.      B.     C.     D. 参考答案： B 5. 在区间（1，2）内随机取个实数a，则直线y=2x，直线x=a与x轴围成的面积大于的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】几何概型． 【分析】求出直线y=2x，直线x=a与x轴围成的面积大于的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．用几何概型的概率公式即可得到结论． 【解答】解：当x=a时，y=2a，即A（a，2a），B（a，0）， 则△ABO的面积S=×a×2a=a2， 若直线y=2x，直线x=a与x轴围成的面积大于， 即a2＞，解得a＞， ∵1＜a＜2， ∴＜a＜2， 则对应的概率P==， 故选：A 6. 函数= 是R上的减函数，则取值范围是（    ） A．(0，1）        B．(0,）        C．（，1）       D. 参考答案： C 7. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入的值为时,输出的值为  （　　） A．            B．             C．             D． 参考答案： C 略 8. 函数f(x)的图象如图所示，则不等式xf(x)＞0的解集是(   ) A.(－∞，－1)∪(0，1)   B.(－1，0)∪(1，+∞) C.(－∞，－1)∪(1，+∞)    D.(－1，0)∪(0，1) 参考答案： B 略 9. 某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（　　） A．7，11，18 B．6、12、18 C．6、13、17 D．7、14、21 参考答案： D 【考点】分层抽样方法． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】由题意，要计算各层中所抽取的人数，根据分层抽样的规则，求出各层应抽取的人数即可选出正确选项． 【解答】解：由题意，老年人、中年人、青年人比例为1：2：3． 由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42=7人， 中年人应抽取的人数为×42=14人， 青年人应抽取的人数为×42=21人． 故选：D． 【点评】本题考查分层抽样，解题的关键是理解分层抽样，根据其总体中各层人数所占的比例与样本中各层人数所占比例一致建立方程求出各层应抽取的人数，本题是基本概念考查题． 10. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值(     ) A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 参考答案： B 考点：利用导数研究函数的极值． 专题：导数的综合应用． 分析：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值． 解答： 解：如图所示， 由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知： 函数f（x）只有在点B处取得极小值， ∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（xB）=0． ∴函数f（x）在点B处取得极小值． 故选：B． 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等比数列{an}的前n项和是Sn，若，则{an}的公比等于________. 参考答案： 12. 已知|x+1| + |x–1|≥a的解集为R，则实数a的最大值　　　． 参考答案： 略 13. 正四面体ABCD的棱长为2，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______． 参考答案： ， 2 【分析】 当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是的投影，长度为2，而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案. 【详解】因为正四面体的对角线互相垂直，且棱平面， 当平面，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，为； 当平面，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边2，高是直线到的距离，为，射影面积为； 正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是，最大值是 【点睛】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题，注意解题过程中的投影图的变化情况，属于中档题. 14. 若，则_______________． 参考答案： 15. 已知一个球的表面积为64πcm2，则这个球的体积为　　cm3． 参考答案： 考点： 球的体积和表面积． 专题： 球． 分析： 根据球的表面积公式求出球的球半径，然后计算球的体积即可． 解答： 解：设球的半径为r， ∵球的表面积为64πcm2， ∴4πr2=64π，即r2=16， 解得r=4cm， ∴球的体积为cm3． 故答案为： 点评： 本题主要考查球的表面积和体积的计算，要求熟练掌握相应的表面积和体积公式，比较基础． 16. 把长度和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，则等于               ． 参考答案： 17. 若实数x，y满足，则的最小值是　  　． 参考答案： 2 【考点】简单线性规划． 【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数z=的几何意义求出z的最小值． 【解答】解：由不等式组表示的平面区域为， 如图所示； 目标函数z=的几何意义是平面区域内的点P（x，y） 与点O（0，0）连线的直线斜率， 由，解得A（1，2）， 此时z=有最小值为2． 故答案为：2． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分)设{an}是首项为，公比为q的等比数列. (1)若，，证明{an}为单调递增数列； (2)试探究{an}为单调递增数列的充要条件(用和表示). 参考答案： 解：（1）………………3分 所以， 所以为单调递增数列.………………4分 （2） ………………6分 由题意可知q>0且q,………………8分 ………………12分 所以为单调递增数列的充要条件是…………14分   19. （本题满分14分）在二项式 (a>0，b>0，m，n0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项。 （1）求它是第几项； （2）求的范围。 参考答案： 解：（1）设Tr+1=为常数项，则有m(12－r)+nr=0           即m(12－r)＋nr=0     所以=4，即它是第5项        （2）因为 第5项是系数最大的项                20. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx． （Ⅰ）如果函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是单调函数，求a的取值范围； （Ⅱ）是否存在正实数a，使得函数T（x）＝－＋（2a＋1）在区间（，e）内有两个不同的零点（e＝2．71828……是自然对数的底数）?若存在，请求出a的取值范围;若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）当时，在上是单调增函数，符合题意． 当时，的对称轴方程为， 由于在上是单调函数，所以，解得或， 综上，的取值范围是，或．          ……………4分 （2）， 因在区间()内有两个不同的零点,所以， 即方程在区间()内有两个不同的实根.  …………5分 设 ，       ………7分       令，因为为正数，解得或（舍）     当时, ,  是减函数；   当时, ，是增函数.           …………………………8分 为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故          解得              ……………………12分 21. 已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，若椭圆的离心率，且．     （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若过的直线交椭圆于两点，且与向量共线，（其中O为坐标原点），求与的夹角． 参考答案：  解析：（Ⅰ）由题意知，解得，从而.         （5分）         （Ⅱ）由（Ⅰ）知，显然直线不垂直于轴，可设直线：       联立，消去，得       （10分） 设，，则， 于是 依题意，即 故，或（舍去）                                             （15分） 又        故 所以，与的夹角为 22. （本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为8，离心率为， （1）求椭圆的标准方程； （2）在椭圆上任取一点P，求P到直线的距离的最小值. 参考答案： 解：（1）由题意知 ∴椭圆的方程为   ……………5分 （2）法一：设与平行且与椭圆相切的直线方程为 联立消去得： ……………8分   令得    ……………10分   当时所得直线   ……………11分   当为与椭圆的切点时距离最小，此时距离等于直线与直线的距离. 直线 l x y o 与直线距离   ∴椭圆上任一点P与 距离的最小值为 . ……………14分 (其它做法请酌情给分)   法二：设椭圆上任一点P 坐标为 点P到直线的距离 当时.   略