广东省惠州市九潭中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省惠州市九潭中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，且，则的值为 A. B. C. D. 参考答案： B 2. 已知，则的值是 （    ） A．   B． C． D． 参考答案： 【知识点】两角和与差的正弦函数．L4  【答案解析】C  解析：sin（﹣α）+sinα=sincosα﹣cossinα+sinα =cosα+sinα+sinα=cosα+sinα=（cosα+sinα）=（sincosα+cossinα） =sin（）= ∴=sin（）=，∴=sin（）=﹣sin（）=﹣ 故答案选：C 【思路点拨】先用正弦两角和公式把sin（﹣α）+sinα展开求的sin（）的值，然后通过诱导公式展开则，把sin（）的值代入即可． 3. 已知圆（x﹣1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A．（1，） B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞） 参考答案： D 由题意，圆心到直线的距离d==，∴k=±， ∵圆（x﹣1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有两个交点， ∴＞，∴1+＞4，∴e＞2，故选：D． 4. 已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（    ） A．             B．           C．            D． 参考答案： D 5. 若，则在下列四组条件中，是的必要不充分条件的是 　　A．　　　　　 B．为双曲线，   C．      　    D． 参考答案： D 略 6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A.5 B.6 C.7 D.8 参考答案： B 7. 已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是（　　） A．[﹣3，3] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，3] 参考答案： D 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】先根据函数f（x）=3sin（ωx﹣）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定ωx﹣的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案 【解答】解：由题意可得ω=2，∵x∈[0，]，∴ωx﹣=2x﹣∈[﹣，]， 由三角函数图象知： f（x）的最小值为3sin（﹣）=﹣，最大值为3sin=3， 所以f（x）的取值范围是[﹣，3]， 故选：D 8. 若，则=（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用诱导公式求得cos（+α） 的值，再利用二倍角的余弦公式求得 =2﹣1的值． 解答： 解：∵=cos（+α），∴=2﹣1=﹣， 故选A． 点评： 本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题． 9. 在等差数列中，，其前n项和为的值等于 A. B. C. D. 参考答案： C 10. 如图，半径为的扇形的圆心角为，点在 上，且，若，则 (    ). （A）      （B）     （C）     （D） 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知， 与的夹角为，则在上的投影为          ． 参考答案： 3 12. 已知函数f（x）=ax+1﹣ex（a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a=　　． 参考答案： e 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】先求出函数的导数，得到f′（1）=a﹣e=0，解出即可． 【解答】解：直线平行于x轴时斜率为0， 由f′（x）=a﹣ex， 得k=f′（1）=a﹣e=0，得出a=e， 故答案为：e． 【点评】本题考查了导数的应用，考查曲线的切线问题，是一道基础题． 13. 在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M为矩形ABCD所在平面内的任意一点,且满足MA=2,MC=,则·=　　　　.  参考答案： 0 本题主要考查平面向量的综合运用,意在考查转化与化归、数形结合等数学思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力. 如图,连接AC,BD交于点E,连接ME,则E为AC,BD的中点,·[(+)2-()2]=[(2)2-()2]=,同理·,不难发现,||=||,所以··,又AC=BD==5=,所以∠AMC=90°,所以··=0. 14. 已知数列{an}与{bn}满足，，且，          ． 参考答案： 15. 在平面直角坐标系中，点集，，则 ①点集所表示的区域的面积为________； ②点集所表示的区域的面积为             ． 参考答案： 16. 的展开式中的系数是        ． 参考答案： 192 17. 某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售单价x 与日销售量y之间的一组数据满足：，，，  ，则当销售单价x定为（取整数）         元时，日利润最大． 参考答案： 7 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）当时，恒成立，求实数m的取值范围； （2）证明：当时，函数有最小值；设最小值为，求函数的值域. 参考答案： （1）；（2） 分析：分析题意，该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答，对于 （1），首先将式子进行转化，构造新函数，借助于导数来完成即可；对于（2）利用导数求函数最值，不难得到函数的最小值为，则，再利用导数求出其值域即可. 详解：（1）因为对恒成立， 等价于对恒成立， 设 得， 故在上单调递增， 当时，由上知， 所以， 即. 所以实数的取值范围为； （2）对求导得 记 由（1）知在区间内单调递增， 又， 所以存在唯一正实数， 使得， ∴当时，，函数在区间单调递减； 时，，函数在区间单调递增； 所以在内有最小值， 有题设即， 又因为， 所以 根据（1）知，在内单调递增，， 所以， 令， 则， 函数在区间内单调递增， 所以， 即函数的值域为. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在求解的过程中，注意恒成立问题的处理方式，构造新函数，应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，进一步求解即可得结果. 19. 在直角坐标系xOy中，直线，曲线（为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为. （1）求直线和曲线C的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A，B，且，求的面积． 参考答案： （1）直线： ；曲线的极坐标方程为；（2）. 【分析】 （1）先根据，把曲线化为普通方程，再利用互化公式，，把直线和曲线化为极坐标方程； （2）联立极坐标方程，并利用极径的几何意义，根据三角形面积公式可得． 【详解】解：（1）∵，∴直线的极坐标方程是， 曲线的普通方程为，即. 所以曲线极坐标方程为. （2）将分别代入，得：，. ∴，∴. ∵，∴. ∴，，. 所以. 即的面积为． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程转化为普通方程，再转化为极坐标方程，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的解题的关键. 20. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，． （1）证明：EF∥平面ABC； （2）若∠BAC=60°，求点P到平面BCD的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）法一：过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．证明四边形MFEN为平行四边形，推出EF∥MN，然后证明EF∥平面ABC． 法二：取AD中点G，连接GE，GF，推出GE∥AC，GF∥AB，证明平面GEF∥平面ABC，然后证明EF∥平面ABC． （Ⅱ）证明BC⊥平面PAB．求出．记点P到平面BCD的距离为d，通过VP﹣BCD=VC﹣PBD，转化求解点P到平面BCD的距离即可． 【解答】（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM∥PA交AB于点M， 取AC的中点N，连接MN，EN． ∵点E为CD的中点，∴EN．又PF=3FB，∴MF，∴FMEN， 所以四边形MFEN为平行四边形， ∴EF∥MN，∵EF?平面ABC，MN?平面ABC， ∴EF∥平面ABC．…（6分） 法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB， 因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC， 所以EF∥平面ABC．…（6分） （Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC． 又BC⊥AB，AB∩PA=A， ∴BC⊥平面PAB． 又∠BAC=60°，AC=2，∴， ∴． 记点P到平面BCD的距离为d，则VP﹣BCD=VC﹣PBD，∴， ∴， 所以，点P到平面BCD的距离为．      …（12分） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 21. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为. （1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标. 参考答案： 解：（1）曲线C的方程为，直线l的方程为. （2）在上任取一点， 则点P到直线l的距离为， 当时，，此时这个点的坐标为.   22. （满分13分）已知二次函数 （1）若满足不等式的解集为，且方程有两个相等的实根，求的解析式； （2）若，且对任意实数均有成立；当时， 是单调函数，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）不等式的解集为 即的解集为 方程有两个相等的实根 即有两个相等的实根   将（1）代（2）解得（舍）   （2） 对任意实数均有成立将（3）代入得