山西省运城市黄营中学高三数学理模拟试题含解析

山西省运城市黄营中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  函数y = f(|x|)的图象如右图所示，则函数y = f(x)的图象不可能是           (   ）                                           参考答案： B 2. 已知两个单位向量，的夹角为60°，=（1﹣t）+t，若?=﹣，则t等于（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可知，进行数量积的运算即可由得出关于t的方程，解出t即可． 【解答】解： = = =； 解得t=﹣2． 故选D． 3. 复数z=﹣2+2i，则的虚部为（　　） A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2 参考答案： D 【考点】复数的基本概念． 【分析】首先求出，根据复数的概念求虚部． 【解答】解：因为复数z=﹣2+2i，则=﹣2﹣2i， 所以的虚部为﹣2； 故选：D． 4. 已知递增等比数列{an}满足a3?a7=6，a2+a8=5，则=(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：利用等比数列的性质及其通项公式即可得出． 解答： 解：递增等比数列{an}满足a3?a7=6，a2+a8=5， ∴a2a8=6，a2+a8=5， 解得a2=2，a8=3． ∴==． 故选：D． 点评：本题考查了等比数列的性质及其通项公式，属于基础题． 5. 已知平面向量的夹角为且，在中，，   ，为中点，则  (  )       A.2            B.4          C.6           D.8 参考答案： A 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ） A．     B．     C．     D． 8 参考答案： B 7. 已知双曲线的焦距为8，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A. B. 或 C. D. 或 参考答案： B 【分析】 对双曲线的焦点位置进行讨论，利用焦距为8，得到关于的方程，在双曲线方程中右边的1为0，即可得答案. 【详解】（1）双曲线的焦点在轴上时， ∴∴， ∴双曲线方程为，其渐近线方程为：； （2）双曲线的焦点在轴上时， ∴∴， ∴双曲线方程为，其渐近线方程为：； 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线方程、焦距的概念、渐近线的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意对焦点的位置的讨论. 8. 已知两个集合，，若A∩B≠?，则实数λ的取值范围是（　　） A．[2，5] B．（﹣∞，5] C． D． 参考答案： D 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；集合关系中的参数取值问题． 【分析】A∩B≠?，即是说方程组有解，两式消去α得出4﹣cos2β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin2β﹣sinβ﹣3，根据sinβ的有界性求出λ的取值范围． 【解答】解：A∩B≠?，即是说方程组有解． 由①得4﹣cos2β=λ+sinβ，得出λ=3+sin2β﹣sinβ=（sinβ﹣）2+； ∵sinβ∈[﹣1，1]， ∴当sinβ=时，λ的最小值为， 当sinβ=﹣1时，λ的最大值为5． 故选：D． 9. 已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：双曲线的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论． 解答： 解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0， ∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为， ∴ ∴b=2a ∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3， ∴FF1=3 ∴c2+4=9 ∴ ∵c2=a2+b2，b=2a ∴a=1，b=2 ∴双曲线的方程为 故选B． 点评：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10. 已知满足，则的最大值为(   ) A．            B．         C．       D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为 。 参考答案： 12. 如图所示是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|≤，ω＞0）的一段图象，则f（）=　 　． 参考答案： 1 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由图象得到函数周期，利用周期公式求得ω，由五点作图的第一点求得φ的值，从而可求函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可求值得解． 【解答】解：∵由图可知，T=﹣（﹣）=π． ∴ω===2； ∵由五点作图第一点知，2×（﹣）+φ=0，得φ=． ∴y=2sin（2x+）， ∴f（）=2sin（2×+）=2sin=1． 故答案为：1． 13. 函数在区间（）内单调递增，则a的取值范围是                  参考答案： 14. 在各项均为正数的等比数列中，若，则       ．  参考答案： 2 15. 已知      参考答案： 1 . 16. （文）若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是___． 参考答案： 由得，即，设。设，则函数在上递减，在上递增，所以，即，即，所以，即则实数a的取值范围是。 17. 已知数列是等比数列，，，那么_______；记数列 的前项和为，则_______. 参考答案： 4， 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)已知数列满足：,，，(). （1）求证：是等差数列，并求出； （2）证明：. 参考答案： （1）证明见解析，； （2）证明见解析. 试题分析：第一问对题中所给的式子进行变形，得出，利用等差数列的定义确定出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得其通项公式，第二问利用裂项相消法对数列求和，得到，从而得证. 试题解析：（1）得出………………………………………………2分 为首项，2为公差的等差数列……………………………………………3分 …………………………………………………………5分 ………………………………………………………………………………6分 （2）……………………………………8分 ………………10分 ……………………………………………………………………12分 考点：等差数列的证明，数列的通项公式，裂项相消法求和. 19. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 参考答案： 20. 已知函数． （Ⅰ）求的单调区间和极值； （Ⅱ）求证：． 参考答案： 解：（Ⅰ）定义域为， 令，令 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 的极大值为 （Ⅱ）证：要证     即证， 即证即证     令，由（Ⅰ）可知在上递减，故     即，令，故累加得，     故，得证 法二：= ，其余相同证法． 略 21. 设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)＝loga．(1)讨论函数f(x)在区间(－∞，－5)内的单调性，并给予证明；(2)设g(x)＝1＋loga(x－3)，如果方程f(x)＝g(x)有实根，求实数a的取值范围． 参考答案： (1)设x1＜x2＜－5，则－ ＝·10·(x2－x1)＞0. 若a＞1，则f(x2)－f(x1)＞0. ∴f(x2)＞f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是增函数； 若0＜a＜1，则f(x2)－f(x1)＜0， ∴f(x2)＜f(x1)，此时f(x)在(－∞，－5)内是减函数． (2)由g(x)＝1＋loga(x－3)及f(x)＝g(x)得 1＋loga(x－3)＝loga?a＝． 由?x＞5. 令h(x)＝，则h(x)＞0. 由＝＝(x－5)＋＋12 ≥4＋12， 当且仅当?x＝5＋2时等号成立． ∴0＜h(x)≤． 故所求a的取值范围是0＜a≤． 22. （本题满分13分）已知数列中，，对于任意的，有,数列满足：，，（1）求数列的通项公式和数列的通项公式；（2）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由。 参考答案： 解：（1）取，则　∴（）    ∴是公差为，首项为的等差数列 ∴　　　  …………2分     ∵    ①      ∴           　②  ①-②得：∴ ………4分   当时，　∴，满足上式 ∴  ………5分 （2）　假设存在，使 ． ．．………6分　  当为正偶数时，恒成立，    ∴．  ∴                                   …………9分    当为正奇数时，恒成立．    ∴     ∴．∴…………12分    综上可知，存在实数．使时，恒成立． …………13分   略