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山西省晋中市新世纪中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设i为虚数单位,若(1﹣i)z=2+i,则z的共轭复数=( )
A.+i B.﹣i C.+i D.﹣i
参考答案:
B
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.
【解答】解:∵(1﹣i)z=2+i,
∴,
则.
故选:B.
2. 设,向量,b=(3,—2),且则|a-b|= ( )
A.5 B. C. D.6
参考答案:
B
略
3. 在等比数列{}中,表示前项和,若,则公比等于
(A) (B) (C)1 (D)3
参考答案:
D
两式相减得,从而求得.
4. 函数的图象大致是
参考答案:
A
略
5. 角的弧度表示为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.命题“若则”的逆否命题为真命题.
B.函数的定义域为.
C.命题“使得”的否定是:“均有” .
D.“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.
参考答案:
A
7. 如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为底面ABCD上的动点,PE⊥A1C于E,且PA=PE,则点P的轨迹是( )
A.线段 B.圆弧
C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
参考答案:
A
【考点】平面与平面之间的位置关系;轨迹方程.
【分析】由PE⊥A1C于E,且PA=PE,得到点E是定点,然后根据PA=PE,得到点P位于A,E的中垂面上,从而得到点P的轨迹.
【解答】解:连接A1P,由题意知A1A⊥AP,
因为PE⊥A1C,且PA=PE,
所以△A1AP≌△A1EP,
所以A1A=A1E,即E为定点.
因为PA=PE,
所以点P位于线段 AE的中垂面上,
又点P在底面上,
所以点P的轨迹为两平面的交线,即点P的轨迹是线段.
故选A.
8. 已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
考点:基本不等式;等比数列的通项公式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:由 a7=a6+2a5 求得q=2,代入求得m+n=6,利用基本不等式求出它的最小值.
解答: 解:由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,可得 ,∴q2﹣q﹣2=0,∴q=2.
∵,∴qm+n﹣2=16,∴2m+n﹣2=24,∴m+n=6,
∴,当且仅当 =时,等号成立.
故 的最小值等于 ,
故选A.
点评:本题主要考查等比数列的通项公式,基本不等式的应用,属于基础题.
9. 已知集合,则A中元素的个数为
A.9 B.8 C.5 D.4
参考答案:
A
详解: ,
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
所以共有9个,选A.
10. “”是“”成立( )条件。
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域为,则过点且与有公共点的直线倾斜角的变化范围为 .
参考答案:
略
12. 在平面四边形ABCD中,,,,,则四边形ABCD的面积的最大值为_________.
参考答案:
设 ,则在 中,由余弦定理有,所以四边形面积 ,所以当 时, 四边形ABCD面积有最大值 .
点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在 中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把 四边形面积写成 这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当 时, 四边形面积有最大值 .
13. 用数学归纳法证明时,由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
略
14. 已知a=e﹣2,b=em,且a?b=1,则m= .
参考答案:
2
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【分析】直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可.
【解答】解:a=e﹣2,b=em,且a?b=1,即e﹣2+m=1,解得m=2.
故答案为:2.
15. 二次函数的值域为_____________
参考答案:
16. 已知线段的长度为,点依次将线段十等分.在处标,往右数点标,再往右数点标,再往右数点标……(如图),遇到最右端或最左端返回,按照的方向顺序,不断标下去,(文)那么标到这个数时,所在点上的最小数为_____________.
参考答案:
5
记标有1为第1号,由于对这些点进行往返标数(从进行标数,遇到同方向点不够数时就“调头”往回数),则标有2的是1+2号,标有3的是1+2+3号,标有4的是1+2+3+4,…,标有10的是1+2+3+…+10=55号.所以55除以20的余数为15,此时点数到了5,,此时数为5。
17. 已知二次函数的值域为,则的最小值为 .
参考答案:
3
试题分析:由题意得:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (09年湖北鄂州5月模拟理)(12分)如图,已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60o,E、F 分别是BC、PC的中点.
⑴证明:AE⊥PD;
⑵若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正
切值为,求二面角E—AF—C的余弦值.
参考答案:
解析:⑴连结AC,△ABC为正△,又E为BC中点,∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD,又PA⊥平面ABCD
故AD为PD在平面ABCD内的射影,由三垂线定理知:AE⊥PD。 4分
⑵连HA,由EA⊥平面PAD知∠AHE为EH与平面PAD所成线面角 5分
而tan∠AHE=故当AH最小即AH⊥PD时EH与平面PAD所成角最大
6分
令AB=2,则AE=,此时
∴AH=,由平几知识得PA=2 7分
因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD
过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC
过O作OS⊥AF于S,连结ES,则∠ESO
为二面角E—AF—C的平面角 9分
在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,AO=AE·cos30°=
又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=
又SE=,在Rt△ESO中,cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为 12分
注:向量法及其它方法可参照给分。
19. 已知是抛物线上的两个点,点的坐标为,直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设为上的一点,且,过两点分别作的切线,记两切线的交点为.判断四边形是否为梯形,并说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)四边形不可能为梯形
试题分析:(Ⅰ)首先设出直线的点斜式,求出直线与y轴的交点及抛物线的焦点,再由物线的焦点在直线的下方,求出的取值范围;(Ⅱ)先假设四边形是梯形,设出B,C,D三点的坐标,进而求出抛物线在点处和处的切线的斜率. 由或确定对应的方程是无解,从而确定四边形不可能为梯形.
试题解析:(1)抛物线的焦点为.由题意,得直线的方程为,
令,得,即直线与y轴相交于点.因为抛物线的焦点在直线的下方,所以,解得,因为,所以..。。。。。。。。。5分
(2)结论:四边形不可能为梯形.理由如下:
假设四边形为梯形.依题意,设,,,
联立方程消去y,得,由韦达定理,得,所以.
同理,得.对函数求导,得,所以抛物线在点处的切线的斜率为,抛物线在点处的切线的斜率为.
由四边形为梯形,得或.
若,则,即,因为方程无解,所以与不平行.
若,则,即,因为方程无解,所以与不平行,所以四边形不是梯形,这与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
考点:圆锥曲线的综合应用;
20. 设f(x)=|x|+|x+10|.
(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M;
(Ⅱ)当a,b∈M时,求证:5|a+b|≤|ab+25|
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】( I)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)当a,b∈M时,等价转化不等式5|a+b|≤|ab+25|为(a2﹣25)?(25﹣b2)≤0,结合题意可得(a2﹣25)?(25﹣b2)≤0成立,从而得出结论.
【解答】解:( I)由f(x)=|x|+|x+10|≤x+15得:
①,或②,或③.
解①求得x∈?,解②求得﹣5≤x≤0,解③求得5≥x>0,
故原不等式的解集为M={x|﹣5≤x≤5 }.
( II)当a,b∈M时,﹣5≤a≤5,﹣5≤b≤5,不等式 5|a+b||≤|ab+25|,
等价于25(a+b)2≤(ab+25)2,即25(a2+b2+2ab)≤a2?b2+50ab+625,
即25a2+25b2﹣a2?b2﹣625≤0,等价于(a2﹣25)?(25﹣b2)≤0.
而由﹣5≤a≤5,﹣5≤b≤5,可得a2≤25,b2≤25,∴a2﹣25≤0,25﹣b2≥0,∴(a2﹣25)?(25﹣b2)≤成立,
故要证的不等式 5|a+b|≤|ab+25|成立.
21. 已知函数。
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当,且,求函数的单调区间。
参考答案:
略
22. (本小题满分10分) 选修4—1;几何证明选讲.
已知为半圆的直径,,为半圆上一点,过点作半圆的切线,过点作于,交半圆于点,.
(1)证明:平分;
(2)求的长.
参考答案:
(1)连接,因为,
所以
为半圆的切线
,
平分 ……… (5分)
(2)连接,由知
所以四点共圆 ,
, (10分)
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