山西省晋中市新世纪中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

山西省晋中市新世纪中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设i为虚数单位，若（1﹣i）z=2+i，则z的共轭复数=（　　） A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵（1﹣i）z=2+i， ∴， 则． 故选：B． 2. 设,向量,b=(3,—2),且则|a-b|= （　　） A．5 B． C． D．6 参考答案： B 略 3. 在等比数列{}中，表示前项和，若，则公比等于  （A）   （B）     （C）1       （D）3 参考答案： D 两式相减得，从而求得. 4. 函数的图象大致是 参考答案： A 略 5. 角的弧度表示为（  ） A.     B.   C.    D.    参考答案： C 6. 下列有关命题的说法正确的是                  (    ) A．命题“若则”的逆否命题为真命题. B．函数的定义域为. C．命题“使得”的否定是：“均有” .    D．“”是“直线与垂直”的必要不充分条件. 参考答案： A 7. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是（　　） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 参考答案： A 【考点】平面与平面之间的位置关系；轨迹方程． 【分析】由PE⊥A1C于E，且PA=PE，得到点E是定点，然后根据PA=PE，得到点P位于A，E的中垂面上，从而得到点P的轨迹． 【解答】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP， 因为PE⊥A1C，且PA=PE， 所以△A1AP≌△A1EP， 所以A1A=A1E，即E为定点． 因为PA=PE， 所以点P位于线段 AE的中垂面上， 又点P在底面上， 所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段． 故选A． 8. 已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得的最小值为(    ) A． B． C． D． 参考答案： A 考点：基本不等式；等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由 a7=a6+2a5 求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值． 解答： 解：由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5，可得 ，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2． ∵，∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6， ∴，当且仅当 =时，等号成立． 故 的最小值等于 ， 故选A． 点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题． 9. 已知集合，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 参考答案： A 详解： ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 所以共有9个，选A.   10. “”是“”成立（      ）条件。 A．充分而不必要　  B．必要而不充分     C．充要           D．既不充分也不必要 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域为，则过点且与有公共点的直线倾斜角的变化范围为          . 参考答案： 略 12. 在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积的最大值为_________. 参考答案： 设 ,则在 中,由余弦定理有,所以四边形面积 ,所以当 时, 四边形ABCD面积有最大值 . 点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在 中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把 四边形面积写成 这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当 时, 四边形面积有最大值 . 13. 用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（    ） A、         B、    C、       D、 参考答案： B 略 14. 已知a=e﹣2，b=em，且a?b=1，则m=　   　． 参考答案： 2 【考点】有理数指数幂的化简求值． 【分析】直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：a=e﹣2，b=em，且a?b=1，即e﹣2+m=1，解得m=2． 故答案为：2． 15. 二次函数的值域为_____________ 参考答案： 16. 已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.            参考答案： 5 记标有1为第1号，由于对这些点进行往返标数（从进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数），则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有10的是1+2+3+…+10=55号．所以55除以20的余数为15，此时点数到了5，,此时数为5。 17. 已知二次函数的值域为，则的最小值为         . 参考答案： 3 试题分析：由题意得：. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （09年湖北鄂州5月模拟理）（12分）如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60o，E、F 分别是BC、PC的中点． ⑴证明：AE⊥PD； ⑵若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正 切值为，求二面角E—AF—C的余弦值． 参考答案： 解析：⑴连结AC，△ABC为正△，又E为BC中点，∴AE⊥BC又AD∥BC ∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD 故AD为PD在平面ABCD内的射影，由三垂线定理知：AE⊥PD。         4分 ⑵连HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE为EH与平面PAD所成线面角            5分 而tan∠AHE＝故当AH最小即AH⊥PD时EH与平面PAD所成角最大                                                                                                                6分 令AB＝2，则AE＝，此时 ∴AH＝，由平几知识得PA＝2                                                          7分 因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC 过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO 为二面角E—AF—C的平面角                                                                  9分 在Rt△AOE中，EO＝AE·sin30°＝，AO＝AE·cos30°＝ 又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO·sin45°＝ 又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝ 即所求二面角的余弦值为                                                                                      12分 注：向量法及其它方法可参照给分。 19. 已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方. （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）设为上的一点，且，过两点分别作的切线，记两切线的交点为.判断四边形是否为梯形，并说明理由. 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ）四边形不可能为梯形 试题分析：（Ⅰ）首先设出直线的点斜式，求出直线与y轴的交点及抛物线的焦点，再由物线的焦点在直线的下方，求出的取值范围；（Ⅱ）先假设四边形是梯形，设出B,C,D三点的坐标，进而求出抛物线在点处和处的切线的斜率. 由或确定对应的方程是无解，从而确定四边形不可能为梯形. 试题解析：（1）抛物线的焦点为.由题意，得直线的方程为， 令，得，即直线与y轴相交于点.因为抛物线的焦点在直线的下方，所以，解得，因为，所以..。。。。。。。。。5分 （2）结论：四边形不可能为梯形.理由如下： 假设四边形为梯形.依题意，设，，， 联立方程消去y，得，由韦达定理，得，所以. 同理，得.对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，抛物线在点处的切线的斜率为. 由四边形为梯形，得或. 若，则，即，因为方程无解，所以与不平行. 若，则，即，因为方程无解，所以与不平行，所以四边形不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 考点：圆锥曲线的综合应用； 20. 设f（x）=|x|+|x+10|． （Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M； （Ⅱ）当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25| 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（ I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）当a，b∈M时，等价转化不等式5|a+b|≤|ab+25|为（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0，结合题意可得（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0成立，从而得出结论． 【解答】解：（ I）由f（x）=|x|+|x+10|≤x+15得： ①，或②，或③． 解①求得x∈?，解②求得﹣5≤x≤0，解③求得5≥x＞0， 故原不等式的解集为M={x|﹣5≤x≤5 }． （ II）当a，b∈M时，﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，不等式 5|a+b||≤|ab+25|， 等价于25（a+b）2≤（ab+25）2，即25（a2+b2+2ab）≤a2?b2+50ab+625， 即25a2+25b2﹣a2?b2﹣625≤0，等价于（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0． 而由﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，可得a2≤25，b2≤25，∴a2﹣25≤0，25﹣b2≥0，∴（a2﹣25）?（25﹣b2）≤成立， 故要证的不等式 5|a+b|≤|ab+25|成立． 21. 已知函数。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当，且，求函数的单调区间。 参考答案： 略 22. （本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲． 已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交半圆于点，. （1）证明：平分； （2）求的长．                     参考答案： （1）连接，因为， 所以 为半圆的切线 ，  平分         ……… （5分） （2）连接，由知 所以四点共圆    ， ，                （10分）