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山东省菏泽市牡丹区第二十二中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数满足约束条件,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 给定函数①,②,③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
参考答案:
B
略
3. 若,且.则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 为了得到函数的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
参考答案:
C
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用二倍角的正弦公式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:函数=sin(2x+)=sin2(x+),
故把函数y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,
可得函数的图象,
故选:C.
5.
已知:有极大值和极小值,则的取值范围为
A、或 B、
C、 D、或
参考答案:
D
6. 若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为( )
. . . .
参考答案:
D
圆的标准方程为,圆心为,因为点弦的中点,所以,AP的斜率为,所以直线的斜率为2,所以弦所在直线方程为,即,选D.
7. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=( ).
参考答案:
A
8.
参考答案:
A
略
9. 函数,若矩形ABCD的顶点A、D在轴上,B、C在函数 的图象上,且,则点D的坐标为
A.(-2,0) B. C.(-1,0) D.
参考答案:
B
10. 已知复数z满足iz=|3+4i|﹣i,则z的虚部是( )
A.﹣5 B.﹣1 C.﹣5i D.﹣i
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.
【分析】利用了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出.
【解答】解:复数z满足iz=|3+4i|﹣i,
∴﹣i?iz=﹣i(5﹣i),
∴z=﹣1﹣5i,
则z的虚部是﹣5.
故选:A.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列中,,,,若对任意的正整数,存在,使不等式成立,则实数的取值范围为 .
参考答案:
12. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则这个几何体的体积为 m3.
参考答案:
4
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 立体几何.
分析: 由题意可知,一个简单的组合体,上面是一个底面是边长为1的正方形,高是2的四棱柱,下面是一个长为2,高为1,宽为1的长方体,根据所给的长度,求出几何体的体积.
解答: 解:由三视图可知,
这是一个简单的组合体,
上面是一个底面是边长为1的正方形,高是2的四棱柱,体积是1×1×2
下面是一个长为2,高为1,宽为1的长方体,体积是1×1×2
∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3,
故答案为:4
点评: 本题考查由三视图还原直观图,根据图形中所给的数据,求出要求的体积,本题是一个考查简单几何体体积的简单题目.
13. 教育装备中心新到7台同型号的电脑,共有5所学校提出申请,鉴于甲、乙两校原来电脑较少,决定给这两校每家至少2台,其余学校协商确定,允许有的学校1台都没有,则不同的分配方案有 种(用数字作答).
参考答案:
35
14. 已知函数,则 .
参考答案:
略
15. 若,则tan2=___
参考答案:
16. 已知函数的图象由的图象向右
平移个单位得到,这两个函数的部分图象
如图所示,则______________.
参考答案:
略
17. 在△ABC中,若sinA=2sinBcosC则△ABC的形状为________。
参考答案:
等腰三角形
在三角形中,即,所以,所以,即三角形为等腰三角形。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆E: +=1(a>b>0)经过点(0,),E的离心率e=
(Ⅰ)求E的标准方程;
(Ⅱ)F1(﹣c,0)、F2(c,0)分别是椭圆E的左、右焦点,直线AB过F1交E于点A、B,直线CD过F2交E于点C、D, =,求四边形ABCD面积S取得的最大值时直线AB的方程.
参考答案:
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)根据题意,将(0,)代入椭圆方程可得b的值,进而由离心率公式可得=,解可得a的值,将a、b的值代入椭圆方程即可得答案;
(Ⅱ)根据题意,先设A、B的坐标以及直线AB的方程,联立直线与椭圆的方程可得(3+k2)y2﹣4ky﹣2=0,由根与系数的关系分析可以将|AB|、d用k表示出来,则可得S=d?|AB|=,由基本不等式分析可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆E: +=1(a>b>0)经过点(0,),
即有+=1,
∴b2=2.
∵e=,∴ =,即=.
解得,a2=6.
所以,E的标准方程是+=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(Ⅰ)知c=2,设直线AB的方程为x=ky﹣2.
由方程组得,(3+k2)y2﹣4ky﹣2=0.
∴y1+y2=,y1y2=﹣;
∴|AB|=?=.
直线AB方程可变形为x﹣ky+2=0,∴点F2(2,0)到直线AB的距离d=,
∴S=d?|AB|=,即S=.
由题意,当且仅当=,即k2=1时,S最大,
所以直线AB的方程为x+y+2=0或x﹣y+2=0.
【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系,涉及椭圆的几何性质;关键是正确求出椭圆的标准方程.
19. (本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若(其中),求的取值范围,并说明.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)见解析.
试题分析:(Ⅰ),对a进行分类讨论:当时,,则函数的单调递减区间是.当时,令,得. 的单调递减区间是,单调递增区间是;(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当时,函数至多存在一个零点,不符合题意.当时,
必须,即,所以
试题解析:(Ⅰ). ………………2分
(ⅰ)当时,,则函数的单调递减区间是.
………………3分
(ⅱ)当时,令,得.
当变化时,,的变化情况如下表
↘
极小值
↗
所以 的单调递减区间是,单调递增区间是. ………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
当时,函数在区间内是减函数,所以,函数至多存在一个零点,不符合题意. ………………6分
当时,因为 在内是减函数,在内是增函数,所以 要使,必须,即.
所以 . ………………7分
当时,.
令,则.
当时,,所以,在上是增函数.
所以 当时,.
所以 . ………………9分
因为 ,,,
所以 在内存在一个零点,不妨记为,在内存在一个零点,不妨记为. ………………11分
因为 在内是减函数,在内是增函数,
所以 .
综上所述,的取值范围是. ………………12分
因为 ,,
所以 . ………………13分
考点:导数与函数的综合
20. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=,且直线l经过点F(﹣,0)
( I )求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(Ⅱ)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】( I )利用ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,将曲线C转化成直角坐标方程;则直线l的普通方程x﹣y=m,将F代入直线方程,即可求得m,求得直线l的普通方程;
(Ⅱ)由( I )可知:设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点(2cosθ, sinθ),则L=2(4cosθ+2sinθ)=4sin(θ+φ),根据正弦函数的性质,即可求得L的最大值.
【解答】解:( I )由曲线C的极坐标方程:ρ2=,即ρ2+ρ2sin2θ=4,
将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,代入上式,化简整理得:;
直线l的普通方程为x﹣y=m,将F代入直线方程,则m=,
∴直线l的普通方程为x﹣y+=0;
(Ⅱ)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点(2cosθ, sinθ),(0<θ<),
∴椭圆C的内接矩形的周长L=2(4cosθ+2sinθ)=4sin(θ+φ),tanφ=,
∴曲线C的内接矩形的周长为L的最值为4.
21. (09 年石景山区统一测试理)(13分)
已知为锐角,向量,,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)求函数的值域.
参考答案:
解析:(Ⅰ)由题意得:, …………2分
∴ ,即 . ………………4分
∵ 为锐角,
∴ , 即 . ………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∴ .
………………9分
因为,所以,
因此,当时,有最大值;
当时,有最小值.
所以函数的值域是. ………………13分
22. 某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
5
7
9
8
乙班
4
8
9
7
7
(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)?
(2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.
参考答案:
考点:极
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