山东省烟台市莱州朱桥镇中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

山东省烟台市莱州朱桥镇中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=(     ) A．2 B．2 C． D．1 参考答案： C 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模． 【解答】解：∵z﹣2=﹣2=， ∴|z﹣2|=． 故选：C． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 2. 已知m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中是真命题的是（　　） A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，n⊥m，则n∥α 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案． 【解答】解：对于A，若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，假命题； 对于B，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质，可得m∥n，真命题； 对于C，若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，假命题； 对于D，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n?α，假命题， 故选：B． 　 3. 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为 A． B． C． D． 参考答案： D 略 4. 设，则“”是“”成立的（    ） （A）充分而不必要条件    （B）必要而不充分条件  （C）充要条件            （D）既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 5. 已知集合，集合，则集合 A.         B.           C.         D. 参考答案： D 6. 已知定义在R上的函数，当时，，且对于任意的实数，都有，若函数有且只有三个零点，则a的取值范围是（    ） A．[2,10]   B．   C．(2,10)   D． 参考答案： B 由图可知 ,选B.   7. 下列选项一定正确的是（     ）    A、若，则 B、若，则    C、若，则 D、若，则 参考答案： B 略 8. 双曲线的一个焦点到它的一条渐近线距离满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（     ） A.           B.          C.             D. 参考答案： D 9. 如图，图C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A (2，15)，则圆C的半径为 A.      B.8         C.       D.10 参考答案： A 10. 等差数列公差为2，若成等比数列，则等于   A．-4        B．-6           C．-8           D．-10 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某校歌咏比赛，据统计，报名的学生和教师的人数之比为 5:1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为0.1，则报名的学生人数是                 ． 参考答案： 略 12. 已知函数 （） 的部分图象如上图所示，则 的函数解析式为    ▲    ． 参考答案： 略 13. 函数的定义域为    . 参考答案： 14. 某年级480名学生在一次面米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间，将测试结果分成5组，如图为其频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是　　． 参考答案： 216 【考点】频率分布直方图． 【分析】先求出成绩在[16，18]的学生的频率，由此能求出成绩在[16，18]的学生人数． 【解答】解：频率分布直方图中， 从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3， ∴成绩在[16，18]的学生的频率为： =0.45， ∴成绩在[16，18]的学生人数是：480×0.45=216． 故答案为：216． 15. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则；      ②若，，则； ③若，，则；       ④若，，，则； ⑤若//，，//，则． 上面命题中，真命题的序号是            （写出所有真命题的序号）．. 参考答案： ②⑤ 16. 对函数 ，若存在区间M=[a,b]使得=M，则称为“稳定函数”，给出下列函数 ①=x2;    ②       ③ 其中为“稳定函数”的序号为           参考答案： ①② 17. ．已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是                     . 参考答案： 若与的夹角为锐角，则，所以的取值范围是。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题共13分） 已知：△的三个内角的对边分别为，且满足． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，的面积为，求边的长． 参考答案： (Ⅰ)由已知得， 得到， 即， 解得或．  …………………………………………4分 因为，故舍去． 所以． ……………………………………………………………6分 (Ⅱ) 由正弦定理可得．……………………………………………7分 而， 将和代入上式，得出，．………………………11分 由余弦定理，得出． ……………………13分 19. 如图（1）五边形ABCDE中，,将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P-ABCD，如图（2），点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD. （1）求证：BM∥平面PAD. （2）若直线PC，AB与所成角的正切值为，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值. 参考答案： （1）证明：取的中点，连接，则， 又，所以，………………………………2分 则四边形为平行四边形，所以，……………………………………3分 又因为面 所以平面……………………………………………………………………5分 （2）又平面， ∴平面，∴. 由即及为的中点，可得为等边三角形， ∴，又，∴，∴， ∴平面平面， ∴平面平面.………………………………………………………………6分 ，∴为直线与所成的角， 由（1）可得，∴，∴， 设，则， 取的中点，连接，过作的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴，…………………………………………………………………9分 所以， 设为平面的法向量，则，即， 取，则为平面的一个法向量， ∵， 则直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分 20. 已知函数的最大值为. （1）求的值； （2）若方程在内有两个零点，求的取值范围. 参考答案： （1） 由，得的最大值为 故. （2）方程即 所以 因为方程在内有两个零点, 所以直线与函数的图象在内有两个交点， 因为，所以， 结合图象可得的取值范围是. 21. 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）对，都有，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）分类讨论去绝对值分别求得不等式组的解，取并集即可. （2）根据（1）中去绝对值后的f（x）的解析式，分别分离参数求得相应的最值，解出a的范围取交集即可． 【详解】（1）， 令或，解得或， 所以解集为. （2）当时，恒成立，即恒成立，即， 当时，恒成立，即恒成立，所以， 当时，恒成立，即，所以， 综上：. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的恒成立问题，考查了分类讨论和转化思想，属中档题． 22. 已知函数． （1）求f（x）单调递增区间； （2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围． 参考答案： 【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性． 【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，利用正弦函数的增减性确定出f（x）的单调增区间即可； （2）利用余弦定理表示cosA，整理后代入已知不等式求出cosA的范围，进而求出A的范围，即可确定出f（A）的范围． 【解答】解：（1）f（x）=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）， 令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 则f（x）的增区间为[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）； （2）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA， 代入已知不等式得：2bccosA＞bc，即cosA＞， ∵A为△ABC内角， ∴0＜A＜， ∵f（A）=sin（2A﹣），且﹣＜2A﹣＜， ∴﹣＜f（A）＜， 则f（A）的范围为（﹣，）．