北京医学院附属中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

北京医学院附属中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为(     ) A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2} 参考答案： D 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】计算题；集合． 【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合． 【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1， ∴x（x﹣2）＜0， ∴0＜x＜2； ∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）； 又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1）， ∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）； 故选D． 【点评】本题考查了学生的识图能力及集合的化简与运算，属于基础题． 2. 已知α为锐角，，则=   (    ) A.      B.       C. D. 参考答案： B 由，得，所以，。所以，选B. 3. 用餐时客人要求：将温度为、质量为的同规格的某种袋装饮料加热至.服务员将袋该种饮料同时放入温度为、质量为的热水中，分钟后立即取出．设经过分钟饮料与水的温度恰好相同，此时，该饮料提高的温度与水降低的温度满足关系式，则符合客人要求的可以是                                （ ▲ ） （A）                （B）              （C）             （D） 参考答案： C 4. 已知数列{an}满足S n=，则=                                   （    ） A．1                      B．－1                       C．2                     D．－2 参考答案： 答案：B 5. 如果cosα=，且α是第四象限的角，那么cos（α+）=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：∵cosα=，且α是第四象限的角， ∴sinα=﹣=﹣， ∴cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=+×=． 故选：C． 6. 已知正数x,y满足x+4y=4，则的最小值为（） A.       B.24      C.20      D.18 参考答案： D 考查求函数最值的方法 首先统一变量x=4-4y，目标函数为 求导解得极值点y=-1（舍）和y=1/3 故最小值为f(1/3)=18 7. 从集合{2,4,8}中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为（   ） A． B． C． D．1 参考答案： C 从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则m=2时：椭圆为：，离心率为：e===， 方程，表示圆； m=8时，椭圆方程，离心率为：e===， 方程表示离心率为的椭圆的概率为：． 故选：C．   8. 设，其中都是非零实数，若，那么 （  ） A．1         B．2       C．0        D． 参考答案： A 9. 函数的图像大致是（    ） A．    B．    C.   D． 参考答案： A 由题意知，函数的定义域为， ，∴函数是偶函数，排除;又，排除B,故选A. 10. 已知函数，则下列关于函数（）的零点个数的判断正确的是 (    ) A．当时，有个零点；当时，有个零点   B．当时，有个零点；当时，有个零点   C．无论为何值，均有个零点   D．无论为何值，均有个零点 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调递减区间是_________。 参考答案： 略 12. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点A，B.若，则△FAB的面积的最大值是          ． 参考答案： 由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=.   13. 已知正数满足，使得取最小值的实数对是           . 参考答案： 14. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O 为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为　   　． 参考答案：     15. 已知函数的导函数为，且，则=                     ． 参考答案： －1 16. ＿＿＿＿。   参考答案： 略 17. 已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为             ．   参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某公司的研发团队，可以进行A、B、C三种新产品的研发，研发成功的概率分别为P（A）=，P（B）=，P（C）= ，三个产品的研发相互独立． （1）求该公司恰有两个产品研发成功的概率； （2）已知A、B、C三种产品研发成功后带来的产品收益（单位：万元）分别为1000、2000、1100，为了收益最大化，公司从中选择两个产品研发，请你从数学期望的角度来考虑应该研发哪两个产品？ 参考答案： 【分析】（1）设A，B，C研发成功分别记为事件A，B，C，且相互独立；计算恰有两个产品研发成功的概率即可； （2）选择A、B和A、C，B、C对应的两种产品研发的分布列与数学期望，比较得出结论． 【解答】解：（1）设A，B，C研发成功分别记为事件A，B，C，且相互独立； 记事件恰有两个产品研发成功为D， 则P（D）=P（A）?P（B）?P（）+P（A）?P（C）?+P（B）?P（C）?P（） =××+××+×× =； （II）选择A、B两种产品研发时为随机事件X，则X的可能取值为0，1000，2000，3000， 则P（X=0）=P（）?P（）=×=， P（X=1000）=P（A）?P（）=×=， P（X=2000）=P（）?P（B）=×=， P（X=3000）=P（A）?P（B）=×=， 则X的分布列为； X 0 1000 2000 3000 P X的数学期望为E（X）=0×+1000×+2000×+3000×=； 选择A、C两种产品研发时为随机事件Y，则Y的可能取值为0，1000，1100，2100， 则P（Y=0）=P（）?P（）=×=， P（Y=1000）=P（A）?P（）=×=， P（X=1100）=P（）?P（C）=×=， P（X=2100）=P（A）?P（C）=×=， 则Y的分布列为； Y 0 1000 1100 2100 P Y的数学期望为E（Y）=0×+1000×+1100×+2100×=1330（万元）； 选择A、B两种产品研发时为随机事件Z，则Z的可能取值为0，2000，1100，3100， 则P（Z=0）=P（）?P（）=×=， P（Z=2000）=P（B）?P（）=×=， P（X=1100）=P（）?P（C）=×=， P（X=3100）=P（B）?P（C）=×=， 则Z的分布列为； Z 0 2000 1100 3100 P Z的数学期望为E（Z）=0×+2000×+1100×+3100×=（万元）； 比较知E（Z）最大，即研发B、C两种产品带来的产品收益最大． 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）设△的内角的对边分别为且，，若，求的值。 参考答案：   略 20. （14分）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．    （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；    （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 参考答案： 解析：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为     ，，，．  则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦)．    （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则． 解得．     因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到． 21. 已知函数,．[来源:Z|xx|k.Com] （1）若对任意的实数,函数与的图象在处的切线斜率总相等，求的值 （2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 解：（Ⅰ）     由题设知，且，即，  ……2分   因为上式对任意实数恒成立，        ……4分 故，所求     ……5分 （Ⅱ）即， 方法一：在时恒成立，则在处必成立，即， 故是不等式恒成立的必要条件.    ……7分 另一方面，当时，记则在上，       ……9分 时，单调递减；时，单调递增 ，，即恒成立 故是不等式恒成立的充分条件.   ……11分 综上，实数的取值范围是       ……12分 方法二：记则在上，      ……7分 1         若，，时，，单调递增，， 这与上矛盾；       ……8分 2         若，，上递增，而， 这与上矛盾；……9分 ③若，，时，单调递减；时，单调递增 ，即恒成立      ……11分 综上，实数的取值范围是       ……12分 略 22. 已知函数f（x）=﹣x4+4x3﹣ax2+1在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增． （1）求a的值； （2）记g（x）=1﹣bx2，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3个元素，求b的取值范围． 参考答案： 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】（1）可求导数，f′（x）=﹣4x3+12x2﹣2ax，而根据题意知x=1为f（x）的极值点，从而有f′（1）=0，这样即可求出a=4； （2）由方程f（x）=g（x）可整理得到x2（x2﹣4x+4﹣b）=0，从而由题意得到一元二次方程x2﹣4x+4﹣b=0有两个不等的非零实根，从而有，解该不等式组便可得出b的取值范围． 【解答】解：（1）f′（x）=﹣4x3+12x2﹣2ax； ∵函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增； ∴x=1是f（x）的极值点； f′（1）=0，即﹣4?13+12?12﹣2a?1=0； 解得a=4； （2）由f（x）=g（x）整理可得x2（x2﹣4x+4﹣b）=0； 由题意知此方程有三个不相等的实数根，又x=0为方程的一