2022年江苏省常州市金坛市第一高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年江苏省常州市金坛市第一高级中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的                                                      (　 　) A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件   参考答案： B 2. 已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（　 ） A．－1     B． 1－log20132012 C．-log20132012  　　D．1 参考答案： B 3. 已知△ABC是锐角三角形，若A=2B，则的取值范围是（     ） A. (,)      B. (,2)        C. (1,)       D. (1,2) 参考答案： A 4. （08年安庆一中三模理 ）     等于    A.1               B.             C. c                 D.1或 参考答案： 答案：D 5. 函数的反函数的定义域为（ ） A.            B.                   C.           D. 参考答案： 答案：B  6. 复数（i是虚数单位），则（   ） A．         B．       C．－1       D． 参考答案： D 因为复数，所以，故选D.   7. 设函数，已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．1   B．2   C．   D．4 参考答案： B 8. 已知点在角的终边上，函数图象上与轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为（    ） A．        B．      C.         D． 参考答案： C 由题意，则，即，则；又由三角函数的定义可得，则，应选答案C。 9. 关于复数，下列说法中正确的是（   ） A．在复平面内复数对应的点在第一象限． B．复数的共轭复数． C．若复数（）为纯虚数，则． D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上． 参考答案： C 10. 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是(　 　) A．y＝f(x)是奇函数  B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称  D．y＝f(x)的图像关于点对称 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设为常数，函数，若在上是增函 数，则的取值范围是___________. 参考答案： 略 12. 若在区间上是增函数，则实数的取值范围    参考答案： a>1/2 略 13. 若x、y满足约束条件的取值范围是         . 参考答案： [2,6] 14. 在集合所表示的平面区域内任取一点M,则点M恰好取自轴上方的概率为___    _____. 参考答案： 15. 将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S的值是__________. 参考答案： 15 16. 已知M是x2=8y的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PM|=m|PN|，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为　　． 参考答案： 4（﹣1） 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义，结合|PM|=m|PN|，可得=，设PM的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论． 解答： 解：过P作准线的垂线，垂足为B，则 由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PM|=m|PN|， ∴|PM|=m|PB| ∴=， 设PM的倾斜角为α，则sinα=， 当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切， 设直线PM的方程为y=kx﹣2，代入x2=8y，可得x2=8（kx﹣2）， 即x2﹣8kx+16=0， ∴△=64k2﹣64=0， ∴k=±1， ∴P（4，2）， ∴双曲线的实轴长为PM﹣PN=﹣4=4（﹣1）． 故答案为：4（﹣1）． 点评： 本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，是解题的关键． 17. 从6名候选人中选派出3人参加、、三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加活动，则不同的选派方法有______________种． 参考答案： 100     略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣5|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t． （Ⅰ）求t； （Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c=max{ }，求证：c≥1．注：maxA表示数集A中的最大数． 参考答案： 解：（Ⅰ）|x﹣3|+|x﹣5|≥|（x﹣3）﹣（x﹣5）|=2， 当且仅当3≤x≤5时取等号， 故m≥2即t=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：c=max{，}， 则c2≥?=≥1， 当且仅当==1即a=b=1时“=”成立， ∵c＞0，∴c≥1． 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式． 分析：（Ⅰ）根据绝对值不等式的意义求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值即可求出t；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c=max{，}，根据基本不等式的性质求出即可． 解答：解：（Ⅰ）|x﹣3|+|x﹣5|≥|（x﹣3）﹣（x﹣5）|=2， 当且仅当3≤x≤5时取等号， 故m≥2即t=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：c=max{，}， 则c2≥?=≥1， 当且仅当==1即a=b=1时“=”成立， ∵c＞0，∴c≥1． 点评：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题． 19. （本题满分14分）如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥. (Ⅰ)若点是棱的中点，求证:平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论. 参考答案： （Ⅰ）因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以 .                                        （2分） 因为平面,平面,所以平面.　　　  （4分） （Ⅱ）由题意,,因为,所以,. （5分）又因为菱形,所以,.建立空间直角坐标系,如图所示.. 所以　　　　　　（6分） 设平面的法向量为, 则有即：令,则,所以.（8分） 因为,所以平面.平面的法向量与平行,所以平面的法向量为.　　　　　　　　　　（9分） ,因为二面角是锐角, 所以二面角的余弦值为.　　　　　　　　　　　　　（10分） （Ⅲ）解：因为是线段上一个动点,设,, 则,所以,、 则,, 由得,即,　　　　（12分） 解得或,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（13分） （所以点是线段的三等分点,或）　　　（14分） 20. 已知函数（a为常数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）函数定义域，当时，，求导得，令得，令得， 函数的单调增区间为，单调减区间为和． （2）当时， 恒成立，令， 问题转换为时， ． ， ①当时， ，在上单调递增， 此时无最大值，故不合题意． ②，此时在上单调递增，此时无最大值. 此时无最大值，故不合题意．   ③当时，令解得， ， 当时， ， 而在上单调递增，在上单调递减， ，故不合题意． 当时， ， 而此时在上单调递减， ，符合题意． 综上可知，实数a的取值范围是． 21. （16分）已知函数，， （1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0； （2）证明：f（x）≥g（x）； （3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可； （2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可； （3）假设存在，得到对任意的x＞0恒成立，根据函数的单调性判断即可． 【解答】解：（1）当a=0时，，所以f（x）≤0的解集为{0}； 当a≠0时，， 若a＞0，则f（x）≤0的解集为[0，2ea]； 若a＜0，则f（x）≤0的解集为[2ea，0]． 综上所述，当a=0时，f（x）≤0的解集为{0}； 当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0，2ea]； 当a＜0时，f（x）≤0的解集为[2ea，0]．  …（4分） （2）设，则． 令h'（x）=0，得，列表如下： x h'（x） ﹣ 0 + h（x） ↘ 极小值 ↗ 所以函数h（x）的最小值为， 所以，即f（x）≥g（x）．…（8分） （3）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立， 即对任意的x＞0恒成立． 而当时，，所以， 所以，则， 所以恒成立， ①当a≤0时，，所以（*）式在（0，+∞）上不恒成立； ②当a＞0时，则，即， 所以，则．…（12分） 令，则，令φ'（x）=0，得， 当时，φ'（x）＞0，φ（x）在上单调增； 当时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调减． 所以φ（x）的最大值．所以恒成立． 所以存在，符合题意．…（16分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题． 22. （本小题满分12分） 已知向量。 （1）求； （2）若，求k的值。 参考答案： 解：（1） （2）