2022年广东省梅州市育达职业高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年广东省梅州市育达职业高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（　  ） A． B． C． D． 参考答案： C 2. 已知集合A={}，Z为整数集，U=R，则 A.            B.       C. CU     D. CU 参考答案： C ∵集合 ∴集合， ∵为整数集 ∴，，， 故选C   3. 函数，的图象向左平移个单位得到函数的图象，已知是偶函数，则（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： D 4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的解析式为 A．           B． C．           D. 参考答案： C 由图象可知,,,即，所以，所以，，即，所以，即，又，所以，所以，选C. 5. 将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递增区间． 【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象， 令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 6. 下列命题中是真命题的为(　　) A．x∈R，x2y2 参考答案： C 7. 如图， 为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 A．               B． C．          D． 参考答案： B 8. 若实数x，y满足约束条件 ，则x﹣y的最大值是（　　） A．﹣7 B．C．﹣1 D．7 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移求出z最大值即可． 【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z， 由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时， 直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值， 由，解得A（﹣3，4）代入z=x﹣y得z=﹣3﹣4=﹣1， 即z=x﹣y的最大值是﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法． 　 9. 已知函数f（x）=ex，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为   A．2    B．2 + ln 2 C．e2    D．2e－ln 参考答案： B 略 10. “”是“对任意的正数x，均有”的……………………………….………………（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件  D．既非充分也非必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对任意两个非零的平面向量和，定义°=，若平面向量和满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且°和°都在集合{|n∈Z}中，则°=　     　． 参考答案： 1或 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得°==，n∈Z，°=cosθ=，m∈Z，且n≥m 且 m、n∈z．根据cos2θ∈（，1），即∈（，1），可得n和m的值；可得 °= 的值． 【解答】解：任意两个非零的平面向量和，定义°=，若平面向量和满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，）， 且°和°都在集合{|n∈Z}中， 则°====，n∈Z， °===cosθ=，m∈Z， ∵||≥||＞0，∴n≥m 且 m、n∈z． ∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1）． ∴n=2，m=1；或n=3，m=1，∴°==1；或  °==， 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题． 12. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心 率的取值范围是        。 参考答案： 13. 已知集合A={x|2x﹣1＞1}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=　      　． 参考答案： {x|1＜x＜2}． 【考点】交集及其运算． 【分析】解指数不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B． 【解答】解：由2x﹣1＞1=20，解得x＞1，即A={x|x＞1}， B={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}， 则A∩B={x|1＜x＜2}， 故答案为：{x|1＜x＜2}． 14. （09南通期末调研）在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于       ▲       ． 参考答案： 答案： 15. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围是            ． 参考答案： 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性3、对数的运算. 【易错点睛】本题主要考查对数的运算、函数的奇偶性、函数的单调性，属中档题.本题先根据对数的运算性质对不等式化简，然后利用函数的奇偶性得出即，然后利用函数的单调性，求得，从而求得的取值范围，本题中函数为偶函数，解不等式应注意到应该为而不是，否则容易出错. 16. 在△ABC中，，D是BC边的中点.若，则AD的长等于________；若，则△ABC的面积等于____________. 参考答案： 7    42 【分析】 （1）依题可得，则有，利用向量运算即可得到答案. （2）在和中分别用正弦定理，求出，再利用，，即可求得，再利用三角形的面积公式即可得到答案. 【详解】（1）依题在△ABC中，是的中点， 所以所以 又 所以 所以 所以的长等于. （2）在中，由正弦定理有： 所以； 在中，由正弦定理有： 所以 因为是的中点，则，, 所以， 所以即， 所以 当时， 当时， 不符合题意， 所以△ABC的面积为： 故答案为： 7； 42 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及模的运算，考查正弦定理和三角形的面积公式，考查学生推理和计算能力，属中档题. 17. 定义某种新运算：的运算原理如右边流程图所示，则54－34＝            ． 参考答案： 9 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数在(0，1)上是增函数. （1）   求实数的取值范围； （2）   当为中最小值时，定义数列满足：，且， 试比较与的大小。 参考答案： (1)易求：        （4分） (2)用数学归纳法证明： （ⅰ）时，由题设 （ⅱ）假设时， 则当时， 由（1）知：在(0，1)上是增函数，又， 所以 综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意，  （8分） 所以 即>.          （10分） 19. （本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1； （Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值. 参考答案： （Ⅰ）取CD的中点E，连结BE. ∵AB∥DE，ABDE3k，∴四边形ABED为平行四边形，    ……2分 ∴BE∥AD且BEAD4k. 在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE2＋CE2BC2， ∴∠BEC90°，即BE⊥CD， 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．                                              ……4分 ∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴AA1⊥CD．又AA1∩ADA， ADD1A1.                                  ……6分 （Ⅱ）以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以，，． 设平面AB1C的法向量n(x，y，z)， 则由得 取y2，得．　……9分 设AA1与平面AB1C所成角为θ，则 sin θ|cos〈，n〉|， 解得k1，故所求k的值为1.         ……12分   20. （12分）   数列的前项和记为，，． （1）当为何值时，数列是等比数列？ （2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又 成等比数列，求． 参考答案： 解析：（1）由，可得， 两式相减得， ∴当时，是等比数列， …………………………………………………3分 要使时，是等比数列，则只需，从而．  ……6分 （2）设的公差为d， 由得，于是，   …………………………………8分 故可设， 又， 由题意可得， 解得， ∵等差数列的前项和有最大值， ∴，     …………………………………………………………10分 ∴．    ………………………………12分 21. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)证明： 参考答案： （1）由题意知，函数的定义域为， 方程在有两个不同根， 即方程在有两个不同根， 令，则 当时，由恒成立，即在内为增函数，显然不成立 当时，由解得，即在内为增函数， 内为减函数，故即可，解得 综上可知的取值范围为 （2）由（1）知：当时，恒成立 ∴ ┄ 上式个式子相加得： 即 又因为 所以 所以 22. 用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）   年级 相关人数 抽取人数 高一 99 高二 27 高三 18 2       （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若从高二、高三年级抽取的人中选人，求这二人都来自高二年级的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意可得  ，所以，.    （Ⅱ）记从高二年级抽取的人为，，，从高三年级抽取的人为，， 则从这两个年级中抽取的人中选人的基本事件有：，，，，，，，，，共种. ……8分 设选中的人都来自高二的事件为， 则包含的基本事件有：，，共种. 因此.                      故选中的人都来自高二的概率为.      ………………………………………13分   略