四川省宜宾市隆兴乡中学校高二数学理期末试题含解析

四川省宜宾市隆兴乡中学校高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是    (　　) A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 参考答案： D 略 2. 设P是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则=（     ） A.1        B．17            C．1或17              D．以上答案均不对 参考答案： B 略 3. △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(    ) A直角三角形     B等腰直角三角形     C等边三角形      D等腰三角 参考答案： A 4. 下图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在 A．“集合的概念”的下位          B． “基本关系”的下位 C．“集合的表示”的下位            D．“基本运算”的下位 参考答案： B 略 5. 已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（　　） A．?x∈R，f（x）≤f（x0） B．?x∈R，f（x）≥f（x0） C．?x∈R，f（x）≤f（x0） D．?x∈R，f（x）≥f（x0） 参考答案： C 【考点】四种命题的真假关系． 【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴，由a＞0可知二次函数有最小值． 【解答】解：∵x0满足关于x的方程2ax+b=0，∴ ∵a＞0，∴函数f（x）在x=x0处取到最小值是 等价于?x∈R，f（x）≥f（x0），所以命题C错误． 答案：C． 　 6. 在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7﹣a8的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 参考答案： C 【考点】等差数列的性质． 【专题】整体思想． 【分析】利用等差数列的性质先求出a6的值，再用a1与d表示出a7﹣?a8，找出两者之间的关系，求解即可． 【解答】解：由已知得：（a2+a10）+（a4+a8）+a6=5a6=80， ∴a6=16， 设等差数列{an}首项为a1，公差为d， 则a7﹣a8=a1+6d﹣（a1+7d）=（a1+5d）=a6=8． 故选C． 【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，应用了基本量思想和整体代换思想． 等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq． 特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap． 7. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　） Ａ． Ｂ．   Ｃ． Ｄ． 参考答案： B 8. 如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①； ②∠BAC=60°； ③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥； ④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 参考答案： B 【考点】棱锥的结构特征；向量的数量积判断向量的共线与垂直． 【专题】常规题型． 【分析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②因为折叠后AB=AC=BC，三角形为等边三角形，所以∠BAC=60°；③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直． 【解答】解：BD⊥平面ADC，?BD⊥AC，①错； AB=AC=BC，②对； DA=DB=DC，结合②，③对④错． 故选B． 【点评】本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题． 9. 已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是(     ) A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7 参考答案： C 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域． 【专题】计算题；转化思想． 【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可． 【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧， 所以有（3×3﹣2×1+a）＜0， 解得﹣7＜a＜24 故选C． 【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点． 10. 某大学数学专业一共有位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知号、号、号同学在样本中，那么样本中还有位同学的编号应该为（    ） A．        B．           C．    D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知满足，若目标函数的最大值为10，则的最小值为____________． 参考答案： 5 考点：线性规划 试题解析：作可行域： 当目标函数线过B时，目标函数值最大，为 解得：m=5. 所以所以的最小值为： 故答案为：5 12. 矩阵M=，则               参考答案： 13. 命题“存在 , ”的否定是______ 参考答案： 任意 ,      略 14. 点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是    ． 参考答案： 15. 如果a、b∈（0，+∞），a≠b且a+b=1，那么的取值范围是　　． 参考答案： （4，+∞） 【考点】基本不等式． 【分析】依题意， +=（+）（a+b），利用基本不等式即可解决问题． 【解答】解：∵a、b∈（0，+∞），a≠b且a+b=1， ∴+=（+）（a+b） =1+1++＞2+2=4． 故么的取值范围是（4，+∞）． 故答案为：（4，+∞）． 16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影的面积为　　． 参考答案： 考点： 平行投影及平行投影作图法． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 根据正方体的性质，可以分别看出三个点在平面ADD1A1上的投影，有一个特殊点D，它的投影是它本身，另外两个点的投影是通过垂直的性质做出的，连接三个投影点，得到要求的图形，即可求出图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影的面积． 解答： 解：由题意知D点在投影面上，它的投影就是它本身，N在平面上的投影是AD棱的中点，M在平面上的投影是AA1的中点， ∴图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影的面积为=． 故答案为：． 点评： 本题考查平行投影及平行投影作图法，考查面面垂直的性质，考查正方体的特点，是一个基础题，也是一个容易得分的题目． 17. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上射影是,点,则的最小值是___________________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设，，为的三边长，求证：. 参考答案： 证明：∵，，∴，， 要证明 只需证 即证 即证 ∵，，是的三边长 ∴，，且，， ∴成立 ∴成立 19. 如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点. (1)证明：AE⊥PD； (2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为求二面角E－AF－C的余弦值.   参考答案： 略 20. 已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆C的右焦点F作直线，使，又与交于P， 设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）． （1）当与的夹角为，且△POF的面积为时，求椭圆C的方程； （2）当时，求当取到最大值时椭圆的离心率．     参考答案： 解：   （1）的斜率为，的斜率为，由与的夹角为，得． 整理，得．           ① 由得．由，得． ∴ ．               ② 由①②，解得，．∴ 椭圆C方程为：． （2）由，及，得． 将A点坐标代入椭圆方程，得． 整理，得， ∴ 的最大值为，此时． 略 21.  已知，，．  若∥，求的值；若求的值 参考答案： 解：(Ⅰ)因为∥，所以． 则．               ……………………………6分 （Ⅱ）因为所以    即             …………………………8分 因为，所以， 则．          ……………………14   22. （12分）在△ABC中，a=，b=2，c=+1，求A、B、C及S△ABC。 参考答案： 略