福建省福州市长乐市第二中学2022年高三数学理期末试题含解析

福建省福州市长乐市第二中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系中，双曲线﹣=1的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A，B两点，若△FAB的面积为8，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设直线l的方程为y=kx，代入双曲线﹣=1，求得得x2﹣3k2x2=12，求得A，B的横坐标，代入直线方程求得，求得其纵坐标，求出A，B纵坐标差的绝对值，根据△FAB的面积为8，即可求出直线的斜率． 【解答】解：双曲线C：﹣=1的右焦点为F（4，0）． 设直线l的方程为y=kx，代入﹣=1，整理得x2﹣3k2x2=12， ∴x=±， ∴A，B纵坐标差的绝对值为2k， ∵△FAB的面积为8， ∴?4?2k =8， ∴解得：k=． 故选：B． 2. 若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为      A.7             B.－7 C.3             D.－3 参考答案： 答案：D 3. 函数的零点个数 A.3            B.2             C.1          D.0 参考答案： B 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是（　　） A．2﹣ B．1 C． D．2 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值． 【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则： A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）； ∴； ∴x=1； ∴F（1，2），； ∴． 故选C． 【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算． 　 5. 设各项为正的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为        A．            B。        C。           D。2 参考答案： B 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （A）若且，则      （B）若且，则 （C）若且，则      （D）若且，则 参考答案： 【答案解析】B   解析：A.直线成角大小不确定；B.把分别看成平面的法向量所在直线，则易得B成立.所以选B. 【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断. 7. 已知集合A＝{x|}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(　　)     A．(0,1)       B．(0, 2]          C．(1,2)        D．(1,2] 参考答案： 【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法．A1  【答案解析】D  解析：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44， 解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D 【思路点拨】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集． 8. 函数的图象是                                     (　 　 ) 参考答案： B 略 9. 函数若，则a的所有可能值组成的集合为（    ）        A．{1}                                                     B．                 C．                                            D． 参考答案： B 10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质；圆的切线方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为x±y=0，根据圆心到切线的距离等于半径得，1=，求出的值，即可得到双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0． 根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1， 可得，1=，∴ =， ，可得e=． 故此双曲线的离心率为：． 故选D． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是           . 参考答案： 12. 已知，，那么          ． 参考答案： 13. 2008年北京奥运会，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加体操比赛, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是          . 参考答案： 答案：   14. 已知球O的体积为36π，则球的内接正方体的棱长是           ． 参考答案： 【考点】球内接多面体． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论． 【解答】解：∵球的体积为36π ∴球的半径为3 ∵球的内接正方体的对角线为球的直径 ∴球的内接正方体的对角线长为6 设球的内接正方体的棱长为a，则a=6 ∴a=2 故答案为：2． 【点评】本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题． 15.   计算：               参考答案： 16. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数 为______________.(用数字作答) 参考答案： 5040 分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为．填5040. 【点睛】 利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类．本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”． 17. 理：已知集合，，则          . 参考答案： ； 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分15分） 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。 （Ⅰ）证明：面面； （Ⅱ）求与所成的角； （Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。 参考答案： 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为. （Ⅰ）证明：因   由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面……3分 （Ⅱ）解：因    ……6分       （Ⅲ）解：在上取一点，则存在使 要使……9分 为 所求二面角的平面角.                   ……12分 ……15分 略 19. 已知函数． （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ)当时，若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，；得则， 所以切线方程为，即为                       .............4分 （Ⅱ)， 令，则 当，时，，函数在上单调递增，无极值点； （1）当且，时，由得                                ..............6分 （2）当变化时，与的变化情况如下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，函数有两个极值点，则 ，由可得，    .......8分 ， 令 因为，所以， ，即在递减， 即有， 所以实数的取值范围为                             .............12分 20. 已知两个数列的前项和分别为, ,其中是等比数列,且，，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 参考答案： (1)∵， ，,所以. 所以，， ， 经验证，时也满足，所以， （2）设，的前项和为 设数列的前项和为，则   ①     ② ②-①得 所所以 21. 一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，x，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．记A事件为“数字之和为7”．试验数据如下表： 摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 1 9 14 24 26 37 58 82 109 150 “和为7”出现的频率 0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 （参考数据：0.33） （Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近．试估计“出现数字之和为7”的概率，并求x的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元．某人摸球3次，设其获利金额为随机变量η元，求η的数学期望和方差． 参考答案： 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）由数据表，利用频率估计概率，列方程求出x的值； （Ⅱ）根据题意，ξ～（3，），计算Eξ、Dξ，和Eη、Dη的值． 【解答】解：（Ⅰ）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近， 所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为；      ∵P（A）==，∴A事件包含两种结果， 则有3+4=2+x=7，解得x=5；    （Ⅱ）设ξ表示3次摸球中A事件发生的次数， 则ξ～（3，），Eξ=3×=1， Dξ=3××=；                     则η=7ξ﹣5（3﹣ξ）=12ξ﹣15， Eη=E（12ξ﹣15）=12Eξ﹣15=12﹣15=﹣3， Dη=D（12ξ﹣15）=144Dξ=144×=96；          （注：（2）问也可以利用分布列去计算数学期望和方差） 22. （本小题满分15分）已知函数. （I）若，求曲线在处的切线方程； （II）若对任意时，恒有，求实数的取值范围. 参考答案： （I），----------------3分 ∴曲线在处的切线方程为， 即-----------------------6分 （II）对任意时，恒有-----------------------------8分      由， 则(1)当时，，解得（舍去）；----------------12分 (2)当时，，解得；