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福建省福州市长乐市第二中学2022年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系中,双曲线﹣=1的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点,若△FAB的面积为8,则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设直线l的方程为y=kx,代入双曲线﹣=1,求得得x2﹣3k2x2=12,求得A,B的横坐标,代入直线方程求得,求得其纵坐标,求出A,B纵坐标差的绝对值,根据△FAB的面积为8,即可求出直线的斜率.
【解答】解:双曲线C:﹣=1的右焦点为F(4,0).
设直线l的方程为y=kx,代入﹣=1,整理得x2﹣3k2x2=12,
∴x=±,
∴A,B纵坐标差的绝对值为2k,
∵△FAB的面积为8,
∴?4?2k =8,
∴解得:k=.
故选:B.
2. 若点到直线的距离为4,且点在不等式表示的平面区域内,则实数的值为
A.7 B.-7
C.3 D.-3
参考答案:
答案:D
3. 函数的零点个数
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
B
4. 如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是( )
A.2﹣ B.1 C. D.2
参考答案:
C
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意,可分别以边AB,AD所在直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,然后可得出点A,B,E的坐标,并设F(x,2),根据即可求出x值,从而得出F点的坐标,从而求出的值.
【解答】解:据题意,分别以AB、AD所在直线为x,y轴,
建立如图所示平面直角坐标系,则:
A(0,0),B(,0),E(,1),设F(x,2);
∴;
∴x=1;
∴F(1,2),;
∴.
故选C.
【点评】考查通过建立平面直角坐标系,利用坐标解决向量问题的方法,向量数量积的坐标运算.
5. 设各项为正的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为
A. B。 C。 D。2
参考答案:
B
6. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是
(A)若且,则 (B)若且,则
(C)若且,则 (D)若且,则
参考答案:
【答案解析】B 解析:A.直线成角大小不确定;B.把分别看成平面的法向量所在直线,则易得B成立.所以选B.
【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.
7. 已知集合A={x|},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(0, 2] C.(1,2) D.(1,2]
参考答案:
【知识点】交集及其运算;其他不等式的解法.A1
【答案解析】D 解析:由A中的不等式变形得:log41<log4x<log44,
解得:1<x<4,即A=(1,4),∵B=(﹣∞,2],∴A∩B=(1,2].故选D
【思路点拨】求出集合A中其他不等式的解集,确定出A,找出A与B的公共部分即可求出交集.
8. 函数的图象是 ( )
参考答案:
B
略
9. 函数若,则a的所有可能值组成的集合为( )
A.{1} B.
C. D.
参考答案:
B
10. 已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】双曲线的简单性质;圆的切线方程.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为x±y=0,根据圆心到切线的距离等于半径得,1=,求出的值,即可得到双曲线的离心率.
【解答】解:双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±x,即x±y=0.
根据圆(x﹣2)2+y2=1的圆心(2,0)到切线的距离等于半径1,
可得,1=,∴ =,
,可得e=.
故此双曲线的离心率为:.
故选D.
【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出的值,是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数.对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点,关于点对称.若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
12. 已知,,那么 .
参考答案:
13.
2008年北京奥运会,我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加体操比赛, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 .
参考答案:
答案:
14. 已知球O的体积为36π,则球的内接正方体的棱长是 .
参考答案:
【考点】球内接多面体.
【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】先确定球的半径,利用球的内接正方体的对角线为球的直径,即可求得结论.
【解答】解:∵球的体积为36π
∴球的半径为3
∵球的内接正方体的对角线为球的直径
∴球的内接正方体的对角线长为6
设球的内接正方体的棱长为a,则a=6
∴a=2
故答案为:2.
【点评】本题考查球的内接正方体,解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径,属于基础题.
15.
计算:
参考答案:
16. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数
为______________.(用数字作答)
参考答案:
5040
分两类,一类是甲乙都参加,另一类是甲乙中选一人,方法数为.填5040.
【点睛】
利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,甲与乙是两个特殊元素,对于特殊元素“优先法”,所以有了分类.本题还涉及不相邻问题,采用“插空法”.
17. 理:已知集合,,则 .
参考答案:
;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)
已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。
(Ⅰ)证明:面面;
(Ⅱ)求与所成的角;
(Ⅲ)求面与面所成二面角的大小。
参考答案:
证明:以为坐标原点长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为.
(Ⅰ)证明:因
由题设知,且与是平面内的两条相交直线,由此得面.又在面上,故面⊥面……3分
(Ⅱ)解:因
……6分
(Ⅲ)解:在上取一点,则存在使
要使……9分
为
所求二面角的平面角. ……12分
……15分
略
19. 已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若函数有两个极值点,不等式恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)当时,;得则,
所以切线方程为,即为 .............4分
(Ⅱ),
令,则
当,时,,函数在上单调递增,无极值点;
(1)当且,时,由得 ..............6分
(2)当变化时,与的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当时,函数有两个极值点,则
,由可得, .......8分
,
令
因为,所以,
,即在递减,
即有,
所以实数的取值范围为 .............12分
20. 已知两个数列的前项和分别为, ,其中是等比数列,且,,.
(1)求的通项公式;
(2)求的前项和.
参考答案:
(1)∵, ,,所以.
所以,,
,
经验证,时也满足,所以,
(2)设,的前项和为
设数列的前项和为,则 ①
②
②-①得
所所以
21. 一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球,分别标有不同的数字2,3,4,x,现从袋中随机摸出2个球,并计算摸出的这2个球上的数字之和,记录后将小球放回袋中搅匀,进行重复试验.记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表:
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
(参考数据:0.33)
(Ⅰ)如果试验继续下去,根据上表数据,出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近.试估计“出现数字之和为7”的概率,并求x的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设定一种游戏规则:每次摸2球,若数字和为7,则可获得奖金7元,否则需交5元.某人摸球3次,设其获利金额为随机变量η元,求η的数学期望和方差.
参考答案:
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CG:离散型随机变量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)由数据表,利用频率估计概率,列方程求出x的值;
(Ⅱ)根据题意,ξ~(3,),计算Eξ、Dξ,和Eη、Dη的值.
【解答】解:(Ⅰ)由数据表可知,当试验次数增加时,频率稳定在0.33附近,
所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为;
∵P(A)==,∴A事件包含两种结果,
则有3+4=2+x=7,解得x=5;
(Ⅱ)设ξ表示3次摸球中A事件发生的次数,
则ξ~(3,),Eξ=3×=1,
Dξ=3××=;
则η=7ξ﹣5(3﹣ξ)=12ξ﹣15,
Eη=E(12ξ﹣15)=12Eξ﹣15=12﹣15=﹣3,
Dη=D(12ξ﹣15)=144Dξ=144×=96;
(注:(2)问也可以利用分布列去计算数学期望和方差)
22. (本小题满分15分)已知函数.
(I)若,求曲线在处的切线方程;
(II)若对任意时,恒有,求实数的取值范围.
参考答案:
(I),----------------3分
∴曲线在处的切线方程为,
即-----------------------6分
(II)对任意时,恒有-----------------------------8分
由,
则(1)当时,,解得(舍去);----------------12分
(2)当时,,解得;
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