福建省宁德市路下华侨中学高三数学理下学期期末试题含解析

福建省宁德市路下华侨中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在矩形ABCD中，，将△ACD沿折起，使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】设D1在平面ABC的射影为O，求出D1O=，即可求出直线D1C与平面ABC所成角的正弦值． 【解答】解：设D1在平面ABC的射影为O， 由题意，CB⊥平面D1CB，∴CD⊥D1B， ∵D1C=，BC=1， ∴D1B=， ∴=AB2， ∴D1B⊥D1A， 由等面积可得D1O?=1，∴D1O=， ∴直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为=， 故选：B． 2. (6) 函数在区间上的最小值是 (A) (B) (C) (D) 0 参考答案： B 3. 已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是 A.              B. C.              D. 参考答案： A 试题分析： 令，则问题转化为与的图象在内有且仅有两个交点；是一个分段函数，的图象是过定点的直线发上图所示，易求当直线与曲线在第三象限相切时，由图可知，或 故选A. 考点：1、分段函数；2、函数的零点；3、数形结合的思想. 4. 已知命题命题，则下列命题中为真命题的是 A. B. C. D. 参考答案： D 5. 函数的零点所在区间为（   ） A．和               B．和 C．和               D．和 参考答案： D 试题分析：当时，在内有零点，当时， 在内有零点，综上在区间和内有零点，故选D. 考点：1、零点存在性定理；2、分段函数． 6. 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（   ） A．性别与喜欢理科无关 B．女生中喜欢理科的比为80% C．男生比女生喜欢理科的可能性大些 D．男生不喜欢理科的比为60% 参考答案： C 7. 已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是(　　) A．1  B.  C.  D. 参考答案： D 略 8. 下列结论中，正确的有（　　） ①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根； ②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为； ③函数y=ln与y=lntan是同一函数； ④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值． A．①④ B．①③ C．①② D．②④ 参考答案： A 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根； ②，a2+b2=2c2≥2ab，cosC=则角C的最大值为； ③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数； ④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2?a2n2=b2（a2﹣m2）?直线PA与直线PB斜率之积为（定值）． 【解答】解：对于①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根，正确； 对于②，∵a2+b2=2c2，∴a2+b2=2c2≥2ab，cosC=，则角C的最大值为，故错； 对于③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数，故错； 对于④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2?a2n2=b2（a2﹣m2）?直线PA与直线PB斜率之积为（定值），故正确． 故选：A． 9. 半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（　　） A．16（） B．16（） C．8（2） D．8（2） 参考答案： B 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】设底面边长为a，高为h，根据球的半径使用勾股定理列出方程，得出a，h的关系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出侧面积的最大值，做差即可． 【解答】解：设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r==2， ∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4． ∴S侧=4ah≤16． 球的表面积S=4π×22=16π． ∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π﹣16=16（）． 故选B． 10. 方程表示的曲线是 A．双曲线     B. 椭圆       C.  双曲线一部分     D.椭圆一部分 参考答案： 答案：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 有100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区，这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量约为     ▲   . 参考答案： 答案：38 12. 若α为锐角，且，则sinα的值为________． 参考答案： 　 【答案】 【解析】 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为        ． 参考答案： 14. 设，向量，，若，则__________． 参考答案： ∵， ∴， ∵，∴，∴，解得． 15. 圆的圆心坐标是       ,如果直线x+y+a=0与该圆有公共点,那么实数a的取值范围是               . 参考答案： 答案：(0,-1)  16. 二项式为虚数单位）的展开式中含项的系数等于—28，则n_____. 参考答案： 8 17. 中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线为渐近线的双曲线方程为______________________________________。 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值.      参考答案： （Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以. 又因为平面,所以. 又,所以⊥平面.                      又平面，所以     ………………6分 （Ⅱ）解：依题意,知 平面平面，交线为， 过点作，垂足为，则平面. 在平面内过作，垂足为，连, 则⊥平面，所以为二面角 的一个平面角 .                         ………………9分 ∵，, ∴,  .                            ………………10分 又，故.  所以.               ………………11分 ∴. 即二面角的余弦值为.                      ………………12分 19. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线和圆C交于A，B两点. （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设l上一定点，求的值. 参考答案： 解：（1） ∴ ∴ ∴ （2）直线的参数方程可化为为参数 代入，得 化简得：∴∴   20. （本题满分12分）已知轴对称平面五边形ADCEF（如图1），BC为对称轴，ADCD， AD = AB =1，CD =BC = ，将此图形沿BC折叠成直二面角， 连接AF、DE得到几何体（如图2） (1)证明：AF//平面DEC；      （2）求二面角E—AD—B的正切值。 参考答案： 解：（Ⅰ）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、 y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得，，   ∴，∴，∴AF∥DE， 又 ∥…………………………6分   （Ⅱ）由（Ⅰ）得四点共面，，设平面，，则，不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为， ∴，∴二面角E-AD-B的正切值为.…………………………12分 略 21. (12分)为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间． （Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数； （Ⅱ)根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年 级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀 的概率； （Ⅲ）若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意可知，解得. 所以此次测试总人数为．              答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．      ……………………4分 (Ⅱ)由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的高三男生，成绩优秀的频率为，则估计从该市高三年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为．                             ……………………8分 （Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生来自不同组． 由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．   从这6人中随机抽取2人有 ，共15种情况．    事件A包括共8种情况．   所以．   答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．     ……………………………12分   略 22. 已知函数。 （1）若函数上恒成立，求实数m的取值范围. （2）设函数，若函数的图象与轴交于点A(,0),B(,0)两点，且是函数的极值点，试比较的大小. 参考答案： （1），令，则 当单调递增， 当1<<2时，，单调递减. …………① 单调递减  …………………………………………5分 （2）则，不妨取 又令，则 上单调递增. …………………………………6分 又， 由①式可知 所以…………………………………8分 又 由①式知，取     又是的极值点， 又上单调递增  ………………………12分