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福建省宁德市路下华侨中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在矩形ABCD中,,将△ACD沿折起,使得D折起的位置为D1,且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上,则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】设D1在平面ABC的射影为O,求出D1O=,即可求出直线D1C与平面ABC所成角的正弦值.
【解答】解:设D1在平面ABC的射影为O,
由题意,CB⊥平面D1CB,∴CD⊥D1B,
∵D1C=,BC=1,
∴D1B=,
∴=AB2,
∴D1B⊥D1A,
由等面积可得D1O?=1,∴D1O=,
∴直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为=,
故选:B.
2. (6) 函数在区间上的最小值是
(A) (B)
(C) (D) 0
参考答案:
B
3. 已知函数内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
试题分析:
令,则问题转化为与的图象在内有且仅有两个交点;是一个分段函数,的图象是过定点的直线发上图所示,易求当直线与曲线在第三象限相切时,由图可知,或
故选A.
考点:1、分段函数;2、函数的零点;3、数形结合的思想.
4. 已知命题命题,则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 函数的零点所在区间为( )
A.和 B.和
C.和 D.和
参考答案:
D
试题分析:当时,在内有零点,当时,
在内有零点,综上在区间和内有零点,故选D.
考点:1、零点存在性定理;2、分段函数.
6. 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图中可以看出( )
A.性别与喜欢理科无关
B.女生中喜欢理科的比为80%
C.男生比女生喜欢理科的可能性大些
D.男生不喜欢理科的比为60%
参考答案:
C
7. 已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k值是( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 下列结论中,正确的有( )
①不存在实数k,使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根;
②已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a2+b2=2c2,则角C的最大值为;
③函数y=ln与y=lntan是同一函数;
④在椭圆+=1(a>b>0),左右顶点分别为A,B,若P为椭圆上任意一点(不同于A,B),则直线PA与直线PB斜率之积为定值.
A.①④ B.①③ C.①② D.②④
参考答案:
A
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,函数f(x)=xlnx﹣x2在定义域内单调,不存在实数k,使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根;
②,a2+b2=2c2≥2ab,cosC=则角C的最大值为;
③,函数y=ln与y=lntan的定义域不同,不是同一函数;
④,设A(﹣a,0),B(a,0),P(m,n),则b2m2+a2n2=a2b2?a2n2=b2(a2﹣m2)?直线PA与直线PB斜率之积为(定值).
【解答】解:对于①,函数f(x)=xlnx﹣x2在定义域内单调,不存在实数k,使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根,正确;
对于②,∵a2+b2=2c2,∴a2+b2=2c2≥2ab,cosC=,则角C的最大值为,故错;
对于③,函数y=ln与y=lntan的定义域不同,不是同一函数,故错;
对于④,设A(﹣a,0),B(a,0),P(m,n),则b2m2+a2n2=a2b2?a2n2=b2(a2﹣m2)?直线PA与直线PB斜率之积为(定值),故正确.
故选:A.
9. 半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直底面),当该正四棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是( )
A.16() B.16() C.8(2) D.8(2)
参考答案:
B
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】设底面边长为a,高为h,根据球的半径使用勾股定理列出方程,得出a,h的关系,使用基本不等式得出ah的最大值,求出侧面积的最大值,做差即可.
【解答】解:设球内接正四棱柱的底面边长为a,高为h,则球的半径r==2,
∴h2+2a2=16≥2ah,∴ah≤4.
∴S侧=4ah≤16.
球的表面积S=4π×22=16π.
∴当四棱柱的侧面积最大值时,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π﹣16=16().
故选B.
10.
方程表示的曲线是
A.双曲线 B. 椭圆 C. 双曲线一部分 D.椭圆一部分
参考答案:
答案:D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 有100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区,这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示,则时速超过60km/h的汽车数量约为 ▲ .
参考答案:
答案:38
12. 若α为锐角,且,则sinα的值为________.
参考答案:
【答案】
【解析】
13. 已知是定义在上的奇函数,且当时,,则此函数的值域为 .
参考答案:
14. 设,向量,,若,则__________.
参考答案:
∵,
∴,
∵,∴,∴,解得.
15. 圆的圆心坐标是 ,如果直线x+y+a=0与该圆有公共点,那么实数a的取值范围是 .
参考答案:
答案:(0,-1)
16. 二项式为虚数单位)的展开式中含项的系数等于—28,则n_____.
参考答案:
8
17. 中心在坐标原点,一个焦点为(5,0),且以直线为渐近线的双曲线方程为______________________________________。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:因为四边形是菱形,所以.
又因为平面,所以.
又,所以⊥平面.
又平面,所以 ………………6分
(Ⅱ)解:依题意,知
平面平面,交线为,
过点作,垂足为,则平面.
在平面内过作,垂足为,连,
则⊥平面,所以为二面角
的一个平面角 . ………………9分
∵,,
∴, . ………………10分
又,故. 所以. ………………11分
∴.
即二面角的余弦值为. ………………12分
19. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数,直线和圆C交于A,B两点.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设l上一定点,求的值.
参考答案:
解:(1)
∴
∴
∴
(2)直线的参数方程可化为为参数
代入,得
化简得:∴∴
20. (本题满分12分)已知轴对称平面五边形ADCEF(如图1),BC为对称轴,ADCD,
AD = AB =1,CD =BC = ,将此图形沿BC折叠成直二面角,
连接AF、DE得到几何体(如图2)
(1)证明:AF//平面DEC;
(2)求二面角E—AD—B的正切值。
参考答案:
解:(Ⅰ)以B为坐标原点,分别以射线BF、BC、BA为x轴、 y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得,,
∴,∴,∴AF∥DE,
又
∥…………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得四点共面,,设平面,,则,不妨令,故,由已知易得平面ABCD的一个法向量为,
∴,∴二面角E-AD-B的正切值为.…………………………12分
略
21. (12分)为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米(含6米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间.
(Ⅰ)求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数;
(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年
级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀
的概率;
(Ⅲ)若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的2名学生来自不同组的概率.
参考答案:
解:(Ⅰ)由题意可知,解得.
所以此次测试总人数为.
答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人. ……………………4分
(Ⅱ)由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的高三男生,成绩优秀的频率为,则估计从该市高三年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为. ……………………8分
(Ⅲ)设事件A:从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生来自不同组.
由已知,测试成绩在有2人,记为;在有6人,记为.
从这6人中随机抽取2人有
,共15种情况.
事件A包括共8种情况. 所以.
答:随机抽取的2名学生来自不同组的概率为. ……………………………12分
略
22. 已知函数。
(1)若函数上恒成立,求实数m的取值范围.
(2)设函数,若函数的图象与轴交于点A(,0),B(,0)两点,且是函数的极值点,试比较的大小.
参考答案:
(1),令,则
当单调递增,
当1<<2时,,单调递减.
…………①
单调递减
…………………………………………5分
(2)则,不妨取
又令,则
上单调递增. …………………………………6分
又,
由①式可知
所以…………………………………8分
又
由①式知,取
又是的极值点,
又上单调递增 ………………………12分
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