湖南省益阳市苍埸乡中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省益阳市苍埸乡中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是                 (     )    A．①③          B．②④           C．②⑤           D．④⑤ 参考答案： C 2. 下列命题中，真命题是 A．存在一个，使(是三边长，是内角的对边)     B． C．幂函数 在定义域上是减函数          D．是的必要条件 参考答案： A 略 3. 对于函数：①，②，③， 判断如下两个命题的真假： 命题甲：在区间上是增函数； 命题乙：在区间上恰有两个零点，且； 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是                                 (      ) A．①     B．②     C．①③       D．①② 参考答案： D 略 4. 若函数，则f（f（2））=（　　） A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】由函数的解析式先求出f（2）的值，再求出f（f（2））的值． 【解答】解：由题意知，， 则f（2）=5﹣4=1，f（1）=e0=1， 所以f（f（2））=1， 故选A． 【点评】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于基础题． 5. 设函数的图像在点处切线的斜率为k，则函数k=g(t)的部分图像为 参考答案： B 函数的导数为，即。则函数为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除A,C.当时，，所以排除排除D,选B. 6. 函数的定义域是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由函数的及诶小时可得可得 ，解方程组求得x的范围，即为所求． 【解答】解：由函数，可得 ． 解得﹣＜x＜2， 故选B． 【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题． 7. 设定义在上的函数满足，若，则(  ) （Ａ）　　     （Ｂ）　　       （Ｃ）　　      （Ｄ） 参考答案： C 8. 已知p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（　　） A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q 参考答案： C 【考点】复合命题的真假． 【专题】转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可． 【解答】解：关于p：?x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立， 故命题p是真命题， 关于q：?x∈（0，+∞），sinx＞1， ∵?x∈（0，+∞），sinx≤1， 故命题q是假命题， 故p∨￢q是真命题， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数、三角函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题． 9. 已知数列，且，则= （    ）A．           B．     C．2     D．3 参考答案： C 略 10. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示， 则该几何体的左视图为（   ）         参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为_______． 参考答案： 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组有(1,1)， (1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36种，其中满足直线与圆有公共点，即，的数组有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1 ,4)，……，(6,6)，共种，因此所求的概率等于． 12. 如图所示的流程图，若输入的值为2，则输出的值为        ． 参考答案： 127  13. 在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值____________． 参考答案： 1 【分析】 由得，由是方向相反的单位向量得，，然后即可算出答案 【详解】由得 即 因为是方向相反的单位向量，所以， 所以，即 故答案为：1 【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单. 14. 曲线在点(0,1)处的切线的方程为__________． 参考答案： 15. 在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是         . 参考答案： 6   略 16. 已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [3，+∞） 【考点】分段函数的应用． 【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：满足条件有的函数为凸函数， f（x）=，作出函数f（x）的图象， 由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数， 若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有， 则a≥3即可， 故实数a的取值范围是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞） 17. 已知平面向量，，且，则      ． 参考答案： －4  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）设函数.(1)令，判断并证明N（x)在（-1，+∞)上的单调性，并求N（0）；（2）求f(x)在其定义域上的最小值； （3）是否存在实数m,n满足0≤m-1时，,所以N(x)在（-1，+∞)上单调递增，N（0）=0. (2)f(x)的定义域是（-1，+∞),当-10时，N（x)>0,所以f′(x)>0, 所以f(x)在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞)上单调递增，所以=f(0)=0. (3)由（2）知f(x)在［0，+∞)上是单调递增函数，若存在m,n满足条件，则必有f(m)=m,f(n)=n, 也即方程f(x)=x在［0，+∞)上有两个不等的实根m,n, 但方程f(x)=x,即只有一个实根x=0,所以不存在满足条件的实数m,n. 略 19. （本小题满分14分） 执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”） （1）若输入，写出输出结果； （2）若输入，令，证明是等差数列，并写出数列的通项公式； （3）若输入，令，． 求证：． 参考答案： 解:（1）输出结果为0，，.                ……4分 （注：写对第一个数给1分，写对二个数得2分.） （2）当时，   （常数），，． 所以，是首项，公差的等差数列．   …………………………6分 故，，数列的通项公式为，，．                                                  ……………………………9分 （3）当时，， ， ……………………11分 是以为首项，为公比的等比数列． 两式作差得 即 ……………………………13分 当时，   ……………………14分 略 20. （本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．    （I）求椭圆的方程；    （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值． 参考答案： 解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有， 设线段MN的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或； 当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1． 21. 已知函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+t成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）将不等式转化为|x|≥m﹣1，根据其解集情况，确定m； （2）将不等式转化为?x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+t+2成立，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可． 【解答】解：（I）∵函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0， f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 所以f（x﹣3）=|x|﹣m+1≥0， 所以|x|≥m﹣1的解集为为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 所以m﹣1=2， 所以m=3；  … （II）由（I）得f（x）=|x+3|﹣2 ∵?x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+t 成立 即?x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+t+2成立  … 令g（x）=|x+3|=|2x﹣1|= 故g（x）max=g（）=  … 则有|≥﹣t2+t+2，即|2t2﹣5t+3≥0． 解得t≤1或t≥， ∴实数t的取值范围是t≤1或t≥  … 22. （12分）已知数列﹛an﹜满足：． （Ⅰ）求数列﹛an﹜的通项公式； （ II）设，求． 参考答案： （I）(II) （Ⅰ）当n=1时，可得，故a1= 当n≥2时，由① 可得② ①﹣②得，所以，经验证n=1时也符合， 所以数列﹛an﹜的通项公式为： （ II），所以bn+1=﹣1﹣2n， 所以， 因此 =