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湖南省益阳市苍埸乡中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有五组变量:①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和平均学习成绩;③某人每日吸烟量和其身体健康情况;④正方形的边长和面积;⑤汽车的重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是 ( )
A.①③ B.②④ C.②⑤ D.④⑤
参考答案:
C
2. 下列命题中,真命题是
A.存在一个,使(是三边长,是内角的对边) B.
C.幂函数 在定义域上是减函数
D.是的必要条件
参考答案:
A
略
3. 对于函数:①,②,③,
判断如下两个命题的真假:
命题甲:在区间上是增函数;
命题乙:在区间上恰有两个零点,且;
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是 ( )
A.① B.② C.①③ D.①②
参考答案:
D
略
4. 若函数,则f(f(2))=( )
A.1 B.4 C.0 D.5﹣e2
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【分析】由函数的解析式先求出f(2)的值,再求出f(f(2))的值.
【解答】解:由题意知,,
则f(2)=5﹣4=1,f(1)=e0=1,
所以f(f(2))=1,
故选A.
【点评】本题考查分段函数的函数值,对于多层函数值应从内到外依次求值,注意自变量的范围,属于基础题.
5. 设函数的图像在点处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的部分图像为
参考答案:
B
函数的导数为,即。则函数为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,C.当时,,所以排除排除D,选B.
6. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由函数的及诶小时可得可得 ,解方程组求得x的范围,即为所求.
【解答】解:由函数,可得 .
解得﹣<x<2,
故选B.
【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法,属于基础题.
7. 设定义在上的函数满足,若,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
8. 已知p:?x∈R,x2﹣x+1>0,q:?x∈(0,+∞),sinx>1,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∨q C.p∨¬q D.¬p∧¬q
参考答案:
C
【考点】复合命题的真假.
【专题】转化思想;综合法;简易逻辑.
【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出其复合命题的真假即可.
【解答】解:关于p:?x∈R,x2﹣x+1=+>0,成立,
故命题p是真命题,
关于q:?x∈(0,+∞),sinx>1,
∵?x∈(0,+∞),sinx≤1,
故命题q是假命题,
故p∨¬q是真命题,
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数、三角函数的性质,考查复合命题的判断,是一道基础题.
9. 已知数列,且,则= ( )A. B. C.2 D.3
参考答案:
C
略
10. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,
则该几何体的左视图为( )
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,则直线与圆有公共点的概率为_______.
参考答案:
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组有(1,1), (1,2),(1,3),…,(6,6),共 36种,其中满足直线与圆有公共点,即,的数组有(1,1),(1,2),(1,3),(1 ,4),……,(6,6),共种,因此所求的概率等于.
12. 如图所示的流程图,若输入的值为2,则输出的值为
.
参考答案:
127
13. 在平面上,是方向相反的单位向量,若向量满足,则的值____________.
参考答案:
1
【分析】
由得,由是方向相反的单位向量得,,然后即可算出答案
【详解】由得
即
因为是方向相反的单位向量,所以,
所以,即
故答案为:1
【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算,较简单.
14. 曲线在点(0,1)处的切线的方程为__________.
参考答案:
15. 在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值是 .
参考答案:
6
略
16. 已知函数f(x)=x|x﹣a|,若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
[3,+∞)
【考点】分段函数的应用.
【分析】根据凸函数和凹函数的定义,作出函数f(x)的图象,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:满足条件有的函数为凸函数,
f(x)=,作出函数f(x)的图象,
由图象知当x≤a时,函数f(x)为凸函数,当x≥a时,函数f(x)为凹函数,
若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,
则a≥3即可,
故实数a的取值范围是[3,+∞),
故答案为:[3,+∞)
17. 已知平面向量,,且,则 .
参考答案:
-4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)设函数.(1)令,判断并证明N(x)在(-1,+∞)上的单调性,并求N(0);(2)求f(x)在其定义域上的最小值;
(3)是否存在实数m,n满足0≤m-1时,,所以N(x)在(-1,+∞)上单调递增,N(0)=0.
(2)f(x)的定义域是(-1,+∞),当-10时,N(x)>0,所以f′(x)>0,
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以=f(0)=0.
(3)由(2)知f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数,若存在m,n满足条件,则必有f(m)=m,f(n)=n,
也即方程f(x)=x在[0,+∞)上有两个不等的实根m,n,
但方程f(x)=x,即只有一个实根x=0,所以不存在满足条件的实数m,n.
略
19. (本小题满分14分)
执行下面框图所描述的算法程序,记输出的一列数依次为,,…,,,.(注:框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:”)
(1)若输入,写出输出结果;
(2)若输入,令,证明是等差数列,并写出数列的通项公式;
(3)若输入,令,.
求证:.
参考答案:
解:(1)输出结果为0,,. ……4分
(注:写对第一个数给1分,写对二个数得2分.)
(2)当时,
(常数),,.
所以,是首项,公差的等差数列. …………………………6分
故,,数列的通项公式为,,.
……………………………9分
(3)当时,,
, ……………………11分
是以为首项,为公比的等比数列.
两式作差得
即
……………………………13分
当时, ……………………14分
略
20. (本题满分15分)已知椭圆:的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设点在抛物线:上,在点处的切线与交于点.当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值.
参考答案:
解析:(I)由题意得所求的椭圆方程为,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MN的方程为,将上式代入椭圆的方程中,得,即,因为直线MN与椭圆有两个不同的交点,所以有,
设线段MN的中点的横坐标是,则,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设线段PA的中点的横坐标是,则,由题意得,即有,其中的或;
当时有,因此不等式不成立;因此,当时代入方程得,将代入不等式成立,因此的最小值为1.
21. 已知函数f(x)=|x+3|﹣m+1,m>0,f(x﹣3)≥0的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若?x∈R,f(x)≥|2x﹣1|﹣t2+t成立,求实数t的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(1)将不等式转化为|x|≥m﹣1,根据其解集情况,确定m;
(2)将不等式转化为?x∈R,|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+t+2成立,左边构造函数,只要求出其最大值,得到关于t的不等式解之即可.
【解答】解:(I)∵函数f(x)=|x+3|﹣m+1,m>0,
f(x﹣3)≥0的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).
所以f(x﹣3)=|x|﹣m+1≥0,
所以|x|≥m﹣1的解集为为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).
所以m﹣1=2,
所以m=3; …
(II)由(I)得f(x)=|x+3|﹣2
∵?x∈R,f(x)≥|2x﹣1|﹣t2+t 成立
即?x∈R,|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+t+2成立 …
令g(x)=|x+3|=|2x﹣1|=
故g(x)max=g()= …
则有|≥﹣t2+t+2,即|2t2﹣5t+3≥0.
解得t≤1或t≥,
∴实数t的取值范围是t≤1或t≥ …
22. (12分)已知数列﹛an﹜满足:.
(Ⅰ)求数列﹛an﹜的通项公式;
( II)设,求.
参考答案:
(I)(II)
(Ⅰ)当n=1时,可得,故a1=
当n≥2时,由①
可得②
①﹣②得,所以,经验证n=1时也符合,
所以数列﹛an﹜的通项公式为:
( II),所以bn+1=﹣1﹣2n,
所以,
因此
=
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