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湖南省怀化市中方中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列的前项和为,若, 等于( )
. . . .
参考答案:
C
2. 函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)相邻两个对称中心的距离为,以下哪个区间是函数f(x)的单调减区间( )
A.[﹣,0] B.[0,] C.[,] D.[,]
参考答案:
C
【考点】正弦函数的对称性.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由周期求得ω,再根据正弦函数的减区间求得函数f(x)的单调减区间.
【解答】解:根据f(x)=sin(ωx+)(ω>0)相邻两个对称中心的距离为,
可得==,∴ω=2,f(x)=sin(2x+).
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
故选:C.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质,正弦函数的减区间,属于基础题.
3. 如图,是一个几何体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)、俯视图,正视图(主视图)、侧视图(左视图)都是矩形,则该几何体的体积是( )
A.24 B.12 C.8 D.4
参考答案:
B
因为由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个直三棱柱,其底面为俯视图,高为3,其体积等于长方体体积减去直三棱柱体积.长方体体积等于3×2×4=24,挖去的直三棱柱体积等于×3×2×4=12所求的体积为24-12=12,故选B
4. 函数的最大值为
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
参考答案:
B
因为,而,所以当时,取最大值5,选B.
5. 若x∈A则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M={-1,0,,,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为
A.15 B.16 C.28 D.25
参考答案:
A
6. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知=b(1+i)(其中i为虚数单位,a,b∈R),则a等于( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.
参考答案:
D
考点:复数相等的充要条件.
专题:数系的扩充和复数.
分析:根据复数相等的条件进行化简即可.
解答: 解:由=b(1+i)得a+i﹣(1+i)=b(1+i)(1+i)=2bi.
即a﹣+i=2bi.
则a﹣=0且=2b,
解得a=,b=,
故选:D.
点评:本题主要考查复数的计算,根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键.
8. 若实数x,y满足|x﹣3|≤y≤1,则z=的最小值为( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
A
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论.
【解答】解:依题意,得实数x,y满足,画出可行域如图所示,
其中A(3,0),C(2,1),
z===1+,
设k=,则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率,
则OC的斜率最大为k=,OA的斜率最小为k=0,
则0≤k≤,则1≤k+1≤,
≤≤1,
故≤1+≤2,
故z=的最小值为,
故选A.
9. 已知函数,把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,若,是在内的两根,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切,则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由函数的导数的几何意义可知:则渐近线的斜率为k==,则=,解得:x0=,即可求得b=2a,双曲线的离心率e===.
【解答】解:由函数y=lnx+ln2+1,(x>0),求导y′=,设渐近线与函数的切点为P(x0,y0),
则渐近线的斜率为k==,
∴=,解得:x0=,
∴==2,b=2a,
双曲线的离心率e===,
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是由一平面内的个向量组成的集合.若,且的模不小于中除外的所有向量和的模.则称是的极大向量.有下列命题:
①若中每个向量的方向都相同,则中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量,在该平面内总存在唯一的平面向量,使得中的每个元素都是极大向量;
③若中的每个元素都是极大向量,且中无公共元素,则中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是_______________.
参考答案:
②③
①若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;②由于 成立,故 围成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;(3)3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为,故 、 中的中的每个元素都是极大向量时,中的每一个元素也都是极大向量,故正确,故答案为②③.
12. 设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为 .
参考答案:
考点:基本不等式.
专题:不等式的解法及应用.
分析:根据柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc取等号,问题即可解决.
解答: 解:由柯西不等式得,
(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2)
∵a2+b2=5,ma+nb=5,
∴(m2+n2)≥5
∴的最小值为
故答案为:
点评:本题主要考查了柯西不等式,解题关键在于清楚等号成立的条件,属于中档题.
13. 若成等差数列,则的值等于________.
参考答案:
14. 若实数满足则的最大值是 .
参考答案:
15. 记二项式展开式中的各项系数和为,二项式系数和为,则=____________。
参考答案:
16. 若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为,且函数在上是增函数,则a=___.
参考答案:
17. 将连续整数填入如图所示的行列的表格中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值为 ,最大值为 .
参考答案:
;
因为第3列前面有两列,共有10个数分别小于第3列的数,因此:最小为:3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列,共有10个数分别大于第3列的数,因此:最大为:23+20+17+14+11=85.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 命题P:已知a>0,函数y=ax在R上是减函数,命题q:方程x2+ax+1=0有两个正根,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
考点:复合命题的真假.
专题:简易逻辑.
分析:根据指数函数的单调性,可求出命题p中实数a的取值范围;根据一元二次方程根的个数与△的关系,可求出命题q:方程x2+2ax+1=0有两个正根,实数a的取值范围;综合讨论结果,可得答案.
解答: 解:若命题p为真,即函数y=ax在R上是减函数,
所以0<a<1,
若命题q为真,方程x2+ax+1=0有两个正根,即,则a≤﹣2,
因为p或q为真命题,p且q为假命题,所以命题p与q中一真一假,
当p真q假时,则满足,即0<a<1;
当p假q真时,则满足,即a∈?;
综上所述,a的范围为{a|0<a<1}.
点评:本题考查的知识点是复合命题的真假,指数次函数的单调性,一元二次方程根的个数与△的关系,难度不大,属于基础题.
19. 设函数f(x)=|x+1|+|x|(x∈R)的最小值为a.
(I)求a;
(Ⅱ)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求+的最小值.
参考答案:
考点:绝对值三角不等式;基本不等式.
专题:不等式的解法及应用.
分析:(I)化简函数的解析式,再利用函数的单调性求得函数的最小值,再根据函数的最小值为a,求得a的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=1,利用基本不等式求得≥2,再利用基本不等式求得+的最小值.
解答: 解:(I)函数f(x)=|x+1|+|x|=,
当x∈(﹣∞,0]时,f(x)单调递减;当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,
所以当x=0时,f(x)的最小值a=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=1,由m2+n2≥2mn,得mn≤,∴≥2
故有 +≥2≥2,当且仅当m=n=时取等号.
所以+的最小值为2.
点评:本题主要考查带有绝对值的函数,利用函数的单调性求函数的最值,基本不等式的应用,属于中档题.
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣3.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(Ⅰ)由Sn=2an﹣3,得a1=3,Sn﹣1=2an﹣1﹣3(n≥2),相减可得an=2an﹣1(n≥2,n∈N),再利用等比数列的通项公式即可得出.
(Ⅱ)利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)由Sn=2an﹣3,①得a1=3,Sn﹣1=2an﹣1﹣3(n≥2),②
①﹣②,得an=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1(n≥2,n∈N),
所以数列{an}是以3为首项,2为公比的等比数列,
所以(n∈N*).
(Ⅱ),
,
作差得,
∴(n∈N*).
21. 设函数f(x)=ax2lnx+b(x﹣1)(x>0),曲线y=f(x)过点(e,e2﹣e+1),且在点(1,0)处的切线方程为y=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:当x≥1时,f(x)≥(x﹣1)2;
(Ⅲ)若当x≥1时,f(x)≥m(x﹣1)2恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)求出函数的f′(x),通过f′(1)=a+b=0,f(e)=e2﹣e+1,求出a,b.
(Ⅱ)求出f(x)的解析式,设g(x)=x2lnx+x﹣x2,(x≥1),求出导数,二次求导,判断g′(x)的单调性,然后证明f(x)≥(x﹣1)2.
(Ⅲ)设h(x)=x2lnx﹣x﹣m(x﹣1)2+1,求出h′(x),利用(Ⅱ) 中知x2lnx≥(x﹣1)2+x﹣1=x(x﹣1),推出h′(x)≥3(x﹣1)﹣2m(x﹣1),①当时,②当时,求解m的范围.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=ax2lnx+b(x﹣1)(x>0),可得f′(x)=2alnx+ax+b,
∵f′(1)=a+b=0,f(e)=ae2+b(e﹣1)=a(e2﹣e+1)=e2﹣e+1∴a=1,b=﹣1.…
(Ⅱ)f(x)=x2lnx﹣x+1,
设g(x)=x2lnx+x﹣x2,(x≥1),g′(x)=2xlnx﹣x+1(g′(x))′=2lnx>0,∴g′(x)在[0,+∞)上单调递增,∴g′(x)≥g′(1)=0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=0.∴f(x)≥(x﹣1)2.…
(Ⅲ)设h(x)=x2lnx﹣x﹣m(x﹣1)2+1,h′(x)=2xlnx+x﹣2m(x﹣1)﹣1,
(Ⅱ) 中知x2lnx≥(x﹣1)2+x﹣1=x(x﹣1),∴xlnx≥x﹣1,∴h′(x)≥3(x﹣1)﹣2m(x﹣1),
①当3﹣2m
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