湖南省怀化市中方中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省怀化市中方中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列的前项和为，若， 等于（   ）     ．         ．         ．           ． 参考答案： C 2. 函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（　　） A．[﹣，0] B．[0，] C．[，] D．[，] 参考答案： C 【考点】正弦函数的对称性． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】由周期求得ω，再根据正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间． 【解答】解：根据f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为， 可得==，∴ω=2，f（x）=sin（2x+）． 令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， 故选：C． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的减区间，属于基础题． 3. 如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（    ） A．24      B．12          C．8          D．4 参考答案： B 因为由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个直三棱柱，其底面为俯视图，高为3，其体积等于长方体体积减去直三棱柱体积．长方体体积等于3×2×4=24，挖去的直三棱柱体积等于×3×2×4=12所求的体积为24-12=12，故选B 4. 函数的最大值为 （A）4          （B）5       （C）6      （D）7 参考答案： B 因为，而，所以当时，取最大值5，选B. 5. 若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A．15             B．16             C．28             D．25 参考答案： A 6. 已知集合，则（   ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A 7. 已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于(     ) A．﹣2 B．2 C．﹣1 D． 参考答案： D 考点：复数相等的充要条件． 专题：数系的扩充和复数． 分析：根据复数相等的条件进行化简即可． 解答： 解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi． 即a﹣+i=2bi． 则a﹣=0且=2b， 解得a=，b=， 故选：D． 点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键． 8. 若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 参考答案： A 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论． 【解答】解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示， 其中A（3，0），C（2，1）， z===1+， 设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率， 则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0， 则0≤k≤，则1≤k+1≤， ≤≤1， 故≤1+≤2， 故z=的最小值为， 故选A． 9. 已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，是在内的两根，则的值为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 10. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切，则双曲线的离心率等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由函数的导数的几何意义可知：则渐近线的斜率为k==，则=，解得：x0=，即可求得b=2a，双曲线的离心率e===． 【解答】解：由函数y=lnx+ln2+1，（x＞0），求导y′=，设渐近线与函数的切点为P（x0，y0）， 则渐近线的斜率为k==， ∴=，解得：x0=， ∴==2，b=2a， 双曲线的离心率e===， 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题： ①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量； ②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量； ③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是_______________．   参考答案： ②③ ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由于 成立，故 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；（3）3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为，故 、 中的中的每个元素都是极大向量时，中的每一个元素也都是极大向量，故正确，故答案为②③.   12. 设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为          ． 参考答案： 考点：基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决． 解答： 解：由柯西不等式得， （ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2） ∵a2+b2=5，ma+nb=5， ∴（m2+n2）≥5 ∴的最小值为 故答案为： 点评：本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题． 13. 若成等差数列，则的值等于________． 参考答案： 14. 若实数满足则的最大值是          ． 参考答案： 15. 记二项式展开式中的各项系数和为，二项式系数和为，则=____________。 参考答案： 16. 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿. 参考答案： 17. 将连续整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为       ，最大值为        . 参考答案： ； 因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 命题P：已知a＞0，函数y=ax在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点：复合命题的真假． 专题：简易逻辑． 分析：根据指数函数的单调性，可求出命题p中实数a的取值范围；根据一元二次方程根的个数与△的关系，可求出命题q：方程x2+2ax+1=0有两个正根，实数a的取值范围；综合讨论结果，可得答案． 解答： 解：若命题p为真，即函数y=ax在R上是减函数， 所以0＜a＜1， 若命题q为真，方程x2+ax+1=0有两个正根，即，则a≤﹣2， 因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以命题p与q中一真一假， 当p真q假时，则满足，即0＜a＜1；    当p假q真时，则满足，即a∈?； 综上所述，a的范围为{a|0＜a＜1}． 点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，指数次函数的单调性，一元二次方程根的个数与△的关系，难度不大，属于基础题． 19. 设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a． （I）求a； （Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值． 参考答案： 考点：绝对值三角不等式；基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值． 解答： 解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=， 当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增， 所以当x=0时，f（x）的最小值a=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2 故有 +≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号． 所以+的最小值为2． 点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题． 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣3． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）由Sn=2an﹣3，得a1=3，Sn﹣1=2an﹣1﹣3（n≥2），相减可得an=2an﹣1（n≥2，n∈N），再利用等比数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2an﹣3，①得a1=3，Sn﹣1=2an﹣1﹣3（n≥2），② ①﹣②，得an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1（n≥2，n∈N）， 所以数列{an}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以（n∈N*）． （Ⅱ）， ， 作差得， ∴（n∈N*）． 21. 设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2； （Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的f′（x），通过f′（1）=a+b=0，f（e）=e2﹣e+1，求出a，b． （Ⅱ）求出f（x）的解析式，设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），求出导数，二次求导，判断g′（x）的单调性，然后证明f（x）≥（x﹣1）2． （Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求出h′（x），利用（Ⅱ） 中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），推出h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），①当时，②当时，求解m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），可得f′（x）=2alnx+ax+b， ∵f′（1）=a+b=0，f（e）=ae2+b（e﹣1）=a（e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．… （Ⅱ）f（x）=x2lnx﹣x+1， 设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），g′（x）=2xlnx﹣x+1（g′（x））′=2lnx＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0．∴f（x）≥（x﹣1）2．… （Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1， （Ⅱ） 中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，∴h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）， ①当3﹣2m