湖南省娄底市走马学区秧冲中学高三数学理模拟试卷含解析

湖南省娄底市走马学区秧冲中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象是  (    ） 参考答案： C 2. 函数y=（x﹣x3）?2|x|在区间[﹣3，3]上的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图形即可． 【解答】解：函数y=（x﹣x3）?2|x|在区间[﹣3，3]上是奇函数，排除：C， 又x=时，y=（）×=＞0．即（，）在函数的图象上，排除B，D， 故选：A． 3. 已知定义在R上的函数分别满足：，则下列函数中，一定为奇函数的是     A．                            B．       C．    D．  参考答案： B 4. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设(x0),    则的最大值是                                   （  ）    A．4            B．5           C．6            D．7             参考答案： C 分别作出函数的图象，由图象可知，点的函数值最大，此时由，解得，所以选C. 5. 在中,团, , ,,为的三等分点,则·=（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 6. 已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.13 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 则函数f(x)存在零点的区间有(　　) （A）区间[1,2]和[2,3]      （B）区间[2,3]和[3,4] （C）区间[2,3]、[3,4]和[4,5] （D）区间[3,4]、[4,5]和[5,6] 参考答案： C 因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]、[3,4]和[4,5]内有零点, 选C. 7. 设，若函数，，有大于零的极值点，则（   ） A．           B．        　C．     　　 D． 参考答案： A 令有大于0的实根，即（）， 由得，，从而，选A。 8. 已知点P是边长为1的正三角形内一点，该点到三角形三边的距离分别是a，b，c（a，b，c＞0），则ab+bc+ca的取值范围是（　　） A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．[，1] 参考答案： A 【考点】余弦定理． 【分析】利用三角形的面积计算公式可得=，即a+b+c=．再利用（a+b+c）2≥3（ab+ac+bc），即可得出． 【解答】解：∵=， ∴a+b+c=． ∵（a+b+c）2≥3（ab+ac+bc）， ∴ab+bc+ca≤=． 又ab+bc+ca＞0． ∴ab+bc+ca的取值范围是． 故选；A． 9. 已知集合，则（   ） A．        B．       C．            D． 参考答案： B 略 10. 在正三棱锥A一BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A一BCD的体积等于                                    （    ）        A．　　　         B．　　　　         C．　　　　        D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n的取值范围为　　． 参考答案： [2，+∞） 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值 【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点， ∴=（+）， ∵，， ∴=+， 又∵O，M，N三点共线， ∴+=1， ∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号， 故m+n的取值范围为[2，+∞）， 故答案为：[2，+∞） 12. △ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c， 若，则b=         。 参考答案： 3 略 13. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是           ． 参考答案： 14. 已知、满足条件：，则的最大值为      . 参考答案： 3 15. 在中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知，则__________. 参考答案： 4 16. 已知P是双曲线  上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为________． 参考答案： 9 略 17. 已知是钝角，，则_________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、。指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．   (I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；   (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考答案： 解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件、、， 则事件“得分不低于8分”表示为+.  与为互斥事件，且、、为彼此独立+=（）+（） =（）（）（）+（）（）（=.    ……………………4分 （Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0,1,2,3. =（）==, =（++）=++=,     ……………6分 =（++）=++=, =（）==,    …………………………………………………………8分 随机变量的分布列为 0 1 2 3         =+++=.     ……………………………………………… 略 19. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD． （Ⅰ）求证：AD⊥CD； （Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值． 参考答案： 解：（Ⅰ）证明：如图， 取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN； ∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE； ∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE； 取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD； 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD； ∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO； 故CD⊥平面PAD，AD?平面PAD； ∴CD⊥AD，即AD⊥CD； （Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得?ABCD是正方形； 取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系； 设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）； =（2，2，0），=（1，0，）； 设平面PBD的法向量，则： ； ∴； ∴，取z=1，∴； ==（，0，﹣）； 设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则： sinθ=|cos＜，＞|==． 考点： 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用． 分析： （Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD； （Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案． 解答： 解：（Ⅰ）证明：如图， 取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN； ∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE； ∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE； 取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD； 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD； ∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO； 故CD⊥平面PAD，AD?平面PAD； ∴CD⊥AD，即AD⊥CD； （Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得?ABCD是正方形； 取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系； 设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）； =（2，2，0），=（1，0，）； 设平面PBD的法向量，则： ； ∴； ∴，取z=1，∴； ==（，0，﹣）； 设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则： sinθ=|cos＜，＞|==． 点评： 考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式 20. F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（　　） 　 A． 24 B． 24 C． 48 D． 48 参考答案： B 略 21. 已知动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）是否存在常数λ，使?=λ2总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点P到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，由此能求出曲线C的方程． （Ⅱ）设直线OQ：x=my，直线MN：x=my﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），联立方程组，得：（7m2+16）y2﹣42my﹣49=0，由此能求出存在符合条件的常数λ． （Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S△MNQ=S△MNO=|OA|?|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由此利用均值不等式能求出最大值． 解答： 解：（Ⅰ）∵动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）2+y