湖北省黄冈市团风中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省黄冈市团风中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量，若满足，则向量的坐标为（ ） A．         B．       C.          D． 参考答案： D 因为,所以 ;因为,所以 ,因此 ,选D   2. 设实数满足，则 （  ）   A.0           B.3             C.6            D.9 参考答案： C 略 3. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为  （　　）     A．   B．     C．   D． 参考答案： D 略 4. 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为 （A）6 （B）8                （C）10             （D）12 参考答案： C 第一步：x＝9，k＝2；第二步：x＝21，k＝4；第三步：x＝45，k＝6； 第四步：x＝93，k＝8；第五步：x＝189，k＝10；退出循环，故k＝10。 5. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是 A.    B.    C.    D. 参考答案： C 6. （多选题）设函数，则（    ） A. f(x)在单调递增 B. f(x)的值域为 C. f(x)的一个周期为π D. 的图像关于点对称 参考答案： BC 【分析】 根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令，则，显然函数为增函数， 当时，为减函数， 根据复合函数单调性可知，在单调递减， 因为， 所以增函数在时，， 即的值域为； 因为， 所以的一个周期为， 因为，令， 设为上任意一点， 则为关于对称的点， 而， 知点不在函数图象上， 故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称. 故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题. 7. 已知点P满足线性约束条件点M(3，1)，O为坐标原点，则的最大值为 A. 12            B. 11                  C. 3                       D. -1 参考答案： B 8. 在△ABC中，，且△ABC的面积为，则BC的长为 A．          B．3             C．        D．7 参考答案： A 略 9. 已知抛物线y2=8x，P为其上一点，点N（5，0），点M满足||=1，?=0，则||的最小值为（　　） 　 A． B． 4 C． D． 2 参考答案： C 考点： 抛物线的简单性质．  专题： 平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由||=1，?=0，可得M在以N（5，0）为圆心，1为半径的圆上，⊥，即MN为圆的切线，由勾股定理和两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到所求最小值． 解答： 解：由||=1，?=0， 可得M在以N（5，0）为圆心，1为半径的圆上， ⊥，即MN为圆的切线， 由勾股定理可得|MP|2=|NP|2﹣|MN|2 =|NP|2﹣1， 要求|MP|的最小值，只要求|NP|的最小值． 设P（n2，n），则|NP|= =， 当n2=8即n=时，|NP|取得最小值，且为2， 即有|MP|取得最小值． 故选C． 点评： 本题考查抛物线的方程的运用，同时考查直线和圆的位置关系，以及向量的垂直和勾股定理的运用，二次函数的最值求法，属于中档题． 10. 已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（     ） A．充分不必要条件        B．必要不充分条件 C．充要条件              D．既不充分也不必要条件 参考答案： 试题分析：函数有零点时，，不满足，所以“函数在上为减函数”不成立；反之，如果“函数在上为减函数”，则有，所以，“函数有零点”成立，故选. 考点：1.充要条件；2.指数函数、对数函数的图象和性质. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　　　． 参考答案： 12. 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|a－b|的最小值是________，最大值是_______． 参考答案： 4， 试题分析：设向量的夹角为，由余弦定理有：， ，则： ， 令，则， 据此可得：， 即的最小值是4，最大值是． 【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得 ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求． 13. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有_______ 个. 参考答案： 【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程.N3  【答案解析】  解析：直线的普通方程为，圆的普通方程为，圆心 到直线的距离为，所以直线和曲线相切，公共点只有个. 故答案为1. 【思路点拨】把参数方程极坐标方程分别化成普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出。 14. 如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　 　． 参考答案： 5 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值， ∵24=16＜20，25=32＞20， ∴输出n=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 15. 已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为        ． 参考答案： 略 16. 如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为　  　． 参考答案： 29π 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积． 【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形， 一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体， 其外接与球，它的对角线的长为球的直径， 得长方体的体对角线的长为=， ∴长方体的外接球的半径为， ∴球的表面积为4π（）2=29π， 故答案为：29π 17. 已知在中，，，动点位于线段上，则取最小值是          ． 参考答案： 如图，建立直角坐标系，易知，， 设，， 则， 所有，所有当时，取最小值。 点睛：本题考查平面向量在几何中的应用。本题中的三角形是确定三角形，所以利用坐标法进行解题，求解数量积，利用函数思想求最小值。平面向量的解题方法很多，但在大部分较难题型中，坐标法都可以起到突破作用。   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知（m为常数，m>0且） 设是首项为4，公差为2的等差数列.   （1）求证：数列是等比数列；   （2）若，且数列{bn}的前n项和，当时，求   （3）若，问是否存在，使得中每一项恒小于它后面的项？ 若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意    即 ∴                                          …………2分 ∴      ∵m>0且，∴m2为非零常数， ∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列                   …………4分 （Ⅱ）由题意， 当 ∴   ①             …………6分 ①式两端同乘以2，得   ②       …………7分 ②－①并整理，得         =       …10分 （Ⅲ）由题意 要使对一切成立，即  对一切 成立， ①当m>1时，  成立；                   …………12分 ②当01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. ………14分   19. 如图所示，CD，GF为圆O的两条切线，其中E，F分别为圆O的两个切点，∠FCD=∠DFG． （1）求证：AB∥CD； （2）证明： =． 参考答案： 【考点】弦切角． 【分析】（1）利用弦切角定理，结合条件，即可证明：AB∥CD； （2）连接AE，FE，利用弦切角定理、正弦定理证明： =． 【解答】（1）证明：由题意，∠FAB=∠DFG， ∵∠FCD=∠DFC， ∴∠FCD=∠FAB， ∴AB∥CD； （2）解：连接AE，FE， ∵CD切圆O于点E， ∴∠CEA=∠AFE， ∵AB∥CD， ∴∠CEA=∠EAB， ∵∠EFD=∠EAB， ∴∠EFD=∠AFE． △EFD中，由正弦定理可得=． △EFC中，由正弦定理可得=， ∵∠FEC=π﹣∠FED， ∴=， ∵AB∥CD， ∴=， ∴=． 20. （14分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax， （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a； （Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值； （Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求实数a； （Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f（x）的极值； （Ⅲ）当0＜a＜2时，利用导函数的单调性，通过f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，即可求出a，然后求f（x）在该区间上的最大值． 【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为f′（x）=﹣x2+x+2a， 曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 依题意：2a﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）当a=1时，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣ x （﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，2） 2 （2，+∞） f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ f（x） 单调减 单调增 单调减 所以，f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）令f′（x）=0，得，， f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增， 当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），f（4）＜f（1）， 所以f（x）在[1，4]上的最小值为，解得：a=1，x2=2． 故f（x）在[1，4]上的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣