湖北省襄阳市襄樊第十六中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖北省襄阳市襄樊第十六中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 关于函数，下列说法正确的是 A．是奇函数且x=-1处取得极小值  B．是奇函数且x=1处取得极小值 C．是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值 D．是非奇非偶函数且x=1处取得极小值 参考答案： D 略 2. 已知集合=（ ）。 A． B． C． D． 参考答案： D 3. 设函数是定义在上的偶函数, 对任意,都有,且当时, ,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根, 则的取值范围是（   ） A．              B．              C．                D． 参考答案： B 试题分析：作出在区间图像，可知，选B.   考点：函数图像 【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 4. “”是“”的  (   ) A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件 C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 5. 若定义在R上的函数，则对于任意的，都有的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 6. 已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）?tanx恒成立，则（　　） A． f（）＞f（） B． f（）＜f（） C． f（）＞f（） D．f（1）＜2f（）?sin1 参考答案： B 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），整理后即可得到答案． 【解答】解：解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0， 由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx， 即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0． 令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0． 所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数， 则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），即 ， 对照选项，A．应为＞，C．应为＜f（）， D．应为f（1）2f（）sin1，B正确． 故选B． 7. 若函数f（x）=a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）=，则f（x）的单调递减区间是（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2] 参考答案： B 【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点． 【分析】由f（1）=，解出a，求出g（x）=|2x﹣4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f（x）的单调递减区间． 【解答】解：由f（1）=，得a2=，于是a=，因此f（x）=（）|2x﹣4|． 因为g（x）=|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增， 所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）． 故选B 8. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则(        ) (A)                (B)    (C)                (D)   参考答案： A 9. 已知是定义在R上的偶函数，且对于任意的R都有若当时，则有（    ） A．          B． C．          D． 参考答案： A 10. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A． 2日和5日   B． 5日和6日  C． 6日和11日    D． 2日和11日 参考答案： C 试题分析：这12天的日期之和，，甲、乙、丙的各自的日期之和是，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C. 考点：等差数列的前项和. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则_______. 参考答案： 【分析】 用基本量法，求出首项和公比，再求。 【详解】设首项，公比，易知， ∴，由于均为正，∴， ∴。 故答案：。 【点睛】本题考查等比数列的前项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先求出首项和公比，然后再求通项公式和前项和公式。 12. 设点(x,y)是不等式组表示的平面区域内的点，则过点(x,y)和点(－2,－4)的直线的斜率的取值范围是_____． 参考答案： 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，结合图象可得所求斜率的取值范围. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，. 记，过点和点的直线的斜率为， 由图象可得，而， 所以，即过点和点的直线的斜率的取值范围为. 【点睛】本题考查线性约束条件下可行域内的点与定点连线斜率的取值范围，解题关键是作出平面区域. 13. 设和都是元素为向量的集合，则M∩N=      ． 参考答案： 略 14. 如图，F1，F2是双曲线C： 的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为_______ 参考答案： 15. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a 则变量X的数学期望E（X）=　　，方差D（X）=　　． 参考答案： 1，   【考点】CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】先根据概率的和为1求得a的值，再根据期望公式，方差的定义求出对应值． 【解答】解：根据概率和为1，得a++=1，解得a=； ∴变量X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=1， 方差D（X）=×（0﹣1）2+×（1﹣1）2+×（2﹣1）2=． 故答案为：1，． 　 16. 设变量满足约束条件：，则目标函数的最小值为          ． 参考答案： 17. 定义在上的函数满足，则等于            .                    参考答案： -3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人） 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组   合计 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数 2 2 4 6 15 14 3 c 频率 0.04 0.04 0.08 b 0.3 0.08 0.28 0.06 1 (Ⅰ)求的值，并估计该校本次考试的数学平均分； （Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从第四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率. 参考答案： 19. 已知函数f（x）＝x2﹣a2lnx（a＞0）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）在[1，e]上没有零点，求a的取值范围． 参考答案： (Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）. 【分析】 Ⅰ求出，解不等式，，即可求出的单调区间； Ⅱ用导数求出函数在区间上没有零点，只需在上或，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出． 【详解】Ⅰ， 令，解得； 令，解得， 函数的单调增区间为，单调减区间为 Ⅱ要使在上没有零点， 只需在上或， 又，只需在区间上，． 当时，在区间上单调递减， 则， 解得与矛盾． 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 解得， ， 当时，在区间上单调递增， ，满足题意， 综上所述，实数a的取值范围是：． 【点睛】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用． 20. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若存在满足，求实数a的取值范围． 参考答案： （1）；（2）． （1）当时，， 当时，不等式等价于，解得，∴； 当时，不等式等价于，解得，∴； 当时，不等式等价于，解得，∴， 综上所述，原不等式的解集为． （2）由，得， 而， （当且仅当时等号成立，） 由题可知，，即， 解得实数的取值范围是．   21. 在四棱锥中，平面平面,,在锐角中,并且 , （1）点是上的一点，证明：平面平面；   （2）若与平面成角，当面面时，求点到平面的距离. 参考答案： 法一（1）∵BD=2AD=8，AB=4，由勾股定理得BD⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?面ABCD， ∴BD⊥平面PADBD?面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD （2）如图，∵BD⊥平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD，∴∠APD=60°， 做PF⊥AD于F，∴PF⊥面ABCD，PF=2， 设面PFC∩面MBD=MN，面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD，∴PF∥MN， 取DB中点Q，得CDFQ为平行四边形，由平面ABCD边长得N为FC中点， ∴MN=PF= 法二（1）同一 （2）在平面PAD过D做AD垂线为z轴，由（1），以D为原点，DA，DB为x，y轴建立空间直角坐标系， 设平面PBD法向量为=(x，y，z)，设P（2，0，a）， 锐角△PAD∴a＞2， 由?=0，?=0， 解得=(-a，0，2)，=(2，0，-a)， |cos＜，＞|==，解得a=2或a=＜2（舍） 设=λ，解得M(2-4λ，4λ，2-2λ) ∵面MBD⊥平面ABCD，AD⊥BD，∴面MBD法向量为=(0，0，4)，∴?=0， 解得λ=，∴M到平面ABD的距离为竖坐标． 略 22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求B； （II）若a+c=5，△ABC的面积为，求b． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得， （Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，得==， ∴b2﹣c2=a2﹣ac， ∴a2+c2﹣b2=ac， 由余弦定理，得cosB==， ∵B∈（0，π）， ∴B=， （Ⅱ）∵△ABC的面积为， ∴S△ABC=acsinB=ac=， ∴ac=6， 由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB）=25﹣2×6×=7， ∴b=．