湖北省武汉市四美塘中学高三数学理月考试卷含解析

湖北省武汉市四美塘中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为．若，则　　 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 参考答案： D 【分析】 过做于，可得，因为，可得，，的关系，进而求出的值． 【详解】解：由题意如图过做于， 因为，设，则可得，由抛物线的性质可得， 所以解得，所以， 故选：D ． 【点睛】本题考查余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题. 2. 函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【详解】函数是偶函数，排除选项B，当x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限，排除A，C； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力． 3. “a＞1”是“函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上存在零点”的（　　） 　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 4. 已知等差数列中，是方程的两根，则　等于 A.               B.           C.               D.  参考答案： 答案：C 5. 已知函数，满足，且在上的导数满足，    则不等式的解为                               （     ） A.   B.    C.    D. 参考答案： C 6. 函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为 A．    B．    C．    D．    参考答案： B 7. 如图所示的程序框图，该算法的功能是 A．计算…的值 B．计算…的值 C．计算……的值 D．计算……的值 参考答案： C 初始值，第次进入循环体：，；当第次进入 循环体时：，，…，给定正整数，当时， 最后一次进入循环体，则有：…，， 退出循环体，输出……，故选C． 8. 执行如图所示的程序框图，输出的S值是 (A) 2      (B) 4         (C) 8     (D) 16 参考答案： 【知识点】循环结构．L1 C   解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，∵， 故选C. 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，并输出． 9. 已知函数=| ex-1|，满足，则     A. a + b =0    .    B. a +b>0    C. a + b <0    D. a + b≥0 参考答案： C. 10. 已知是R上的偶函数，若将的图像向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图像，若 A.0 B.1 C. D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile．此船的航速是　     　n mile/h． 参考答案： 32 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】由题意及图形在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形ABS中边BS=8，先求出边AB的长，再利用物理知识解出． 【解答】解：因为在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边BS=8，利用正弦定理可得： ??AB=16， 又因为从A到S匀速航行时间为半个小时，所以速度应为：（mile/h）． 故答案为：32． 12. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a 则变量X的数学期望E（X）=　　，方差D（X）=　　． 参考答案： 1，   【考点】CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】先根据概率的和为1求得a的值，再根据期望公式，方差的定义求出对应值． 【解答】解：根据概率和为1，得a++=1，解得a=； ∴变量X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=1， 方差D（X）=×（0﹣1）2+×（1﹣1）2+×（2﹣1）2=． 故答案为：1，． 　 13. 已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为_________ 参考答案： 略 14. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA= 的值． 【解答】解：在△ABC中， ∵b﹣c=a ①，2sinB=3sinC， ∴2b=3c ②， ∴由①②可得a=2c，b=． 再由余弦定理可得 cosA===﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． 15. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数，则的最小正周期是________． 参考答案： 16. 已知实数满足，则的最大值为_______________. 参考答案： 略 17. 若x，y满足则的最大值是　　． 参考答案： 【考点】简单线性规划． 【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值． 【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示： 则的几何意义表示平面区域内的点 与点（0，0）的斜率的最大值，由 解得A（1，） 显然过A时，斜率最大，最大值是， 故答案为：． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等比数列{an}、等差数列{bn}，满足a1＞0，b1=a1﹣1，b2=a2，b3=a3且数列{an}唯一． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{an?bn}的前n项和． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，从而可得（q﹣1）2=，从而结合数列{an}唯一可得a1=1，q=2；从而解得． （2）化简an?bn=（2n﹣2）2n﹣1，结合通项公式的形式可知利用错位相减法求其前n项和． 【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q， ∵b1=a1﹣1，b2=a2，b3=a3，且{bn}为等差数列， ∴2a2=（a1﹣1）+a3， 即2a1q=（a1﹣1）+a1q2， 即（q﹣1）2=， ∵数列{an}唯一， ∴q在{q|q≠0}上只有一个解， ∴（q﹣1）2=中有一个解为q=0， 故=1，此时，a1=1，q=2； 故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 数列{bn}是以0为首项，2为公差的等差数列； 故an=2n﹣1，bn=2n﹣2； （2）an?bn=（2n﹣2）2n﹣1， Sn=0?1+2?2+4×4+6×8+…+（2n﹣2）2n﹣1， 2Sn=0?2+2?4+4×8+6×16+…+（2n﹣2）2n， 两式作差可得， Sn=﹣2×2+（﹣2）×4+（﹣2）×8+…+（﹣2）×2n﹣1+（2n﹣2）2n =（2n﹣2）2n﹣（22+23+24+…+2n） =（n﹣1）2n+1﹣ =（n﹣2）2n+1+4． 【点评】本题考查了等比数列与等差数列的性质的应用，同时考查了错位相减法的应用及转化思想的应用． 19. 已知函数 （1）若求函数的单调区间；   （2）若且对任意,恒成立，求实数的取值范围; （3）设函数 求证： . 参考答案： 20. 已知椭圆C的两个焦点为，，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，求直线l的斜率k的值. 参考答案： 解：(1)由椭圆定义，有，，，从而. (2)设直线，有，整理得， 设，，有，， ，，由已知. 21. ．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD； （Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】选作题；立体几何． 【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD； （Ⅱ）根据割线定理得BD?BA=BE?BC，从而可求AD的长． 【解答】（Ⅰ）证明：连接DE， ∵ACED是圆内接四边形， ∴∠BDE=∠BCA， 又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有， 又∵AB=2AC，∴BE=2DE， ∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE， ∴BE=2AD；… （Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t， 则BE=2t，BC=2t+6， 根据割线定理得BD?BA=BE?BC， 即（6﹣t）×6=2t?（2t+6），即2t2+9t﹣18=0， 解得或﹣6（舍去），则．… 【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+a． （1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值； （2）由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围． 【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a， ∴， 解得a﹣3≤x≤3． 再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2， ∴a=1． （2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n）， ∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1）， ∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m， ∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=， ∴ymin=4， 由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立， ∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．