河南省驻马店市正阳县第一中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

河南省驻马店市正阳县第一中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知=2， 则的值为（   ） A．      B．7    C．－     D．－7 参考答案： A 略 2. 若集合A={x|x（x﹣3）≤0，x∈N}，B={﹣1，0，1}，则集合A∩B为（　　） A．{﹣1，0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1，2，3} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【分析】确定出A，求出A与B的交集即可． 【解答】解：集合A={x|x（x﹣3）≤0，x∈N}={0≤x≤3，x∈N}={0，1，2，3} B={﹣1，0，1}， 则集合A∩B={0，1} 故选：C． 3. 如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的 任意一点，若P为半径OC上的动点， 则的最小值是(       ) A．       B.             C.               D. 参考答案： A 略 4. 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝an2(n∈N*)．对于任意的正整数n，不等式t2－an2－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(      ) (A)1 (B)2  (C)3  (D)6 参考答案： C 易证得数列{an}是递增数列， 又t2－an2－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0， ∴t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3， ∴tmax＝3.故选C. 5. 若对使成立，则（   ）   A.              B.            C.            D. 参考答案： B 6. 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　) A．a>b>c        B．a>c>b  C．b>a>c        D．c>a>b 参考答案： B 略 7. 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 参考答案： B 8. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 参考答案： C 【分析】 根据含全称量词命题的否定即可得到结果. 【详解】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：， 本题正确选项： 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 9. 函数是（     ） A.最小正周期为2π的奇函数  B. 最小正周期为2π的偶函数         C.最小正周期为π的奇函数   D. 最小正周期为π的偶函数  参考答案： D 10. 已知上三点，的延长线与线段AB的延长线交于外点。若的取值范围为（  ）                             参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知单位向量，的夹角为60°，则__________ 参考答案： 12. 一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为 ，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是         ．   参考答案： 略 13. 不等式的解集为              . 参考答案： 得，即，所以不等式的解集为。 14. 设a＝log32，b＝ln 2，c＝，则a、b、c的大小关系为________． 参考答案： c＜a＜b 15. 已知向量，，若，则实数______; 参考答案： 2 16. 已知点M(－1,1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=________． 参考答案：   k=2 17.  定义在上的奇函数，则常数____,_____ 参考答案： 0；0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知在平面直角坐标系xOy中，过点P（1，0）的直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C点的极坐标方程为ρ=﹣4sin（θ﹣）． （1）判断直线l与曲线C的位置关系； （2）若直线l与曲线C交于两点A、B，求|PA|?|PB|的值． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）直线l的参数方程是（t是参数），消去参数t可得普通方程．曲线C点的极坐标方程为ρ=﹣4sin（θ﹣），即ρ2=﹣4ρsin（θ﹣），利用互化公式可得直角坐标方程．求出圆心到直线l的距离d，与半径r比较可得直线l与曲线C的位置关系． （2）把直线l的参数方程（t是参数），代入圆C的方程可得：t2+t﹣1=0．可得|PA|?|PB|=|t1t2|． 【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t是参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣1=0． 曲线C点的极坐标方程为ρ=﹣4sin（θ﹣），即ρ2=﹣4ρsin（θ﹣），可得直角坐标方程：x2+y2+4×=0， 配方为（x﹣1）2+=4，可得圆心C（1，﹣），半径r=2． 圆心到直线l的距离d==＜2=r． ∴直线l与曲线C的位置关系是相交． （2）把直线l的参数方程（t是参数），代入圆C的方程可得：t2+t﹣1=0． ∴t1t2=﹣1． ∴|PA|?|PB|=|t1t2|=1． 19. (本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分. 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足. （1）求角B的大小  （2）设,试求的取值范围. 参考答案： (1) 因为(2a－c）cosB=bcosC,所以(2sinA－sinC）cosB=sinBcosC, 即2sinA cosB=sinCcosB＋sinBcosC= sin(C＋B)= sinA. 而sinA>0,所以cosB=   故B=60°    (2) 因为,所以=3sinA＋cos2A =3sinA＋1－2sin2A=－2(sinA－)2＋ 由得, 所以,从而 故的取值范围是. 20. 如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形.求AM的长； 参考答案： 连接，则，因为四边形是平行四边形，所以∥，因为是⊙O的切线，所以，可得，又因为是的中点，所以，得，故.                    21. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，直线l的方程为x﹣y﹣1=0． （1）写出曲线C的参数方程； （2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程，可得参数方程； （2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为： ==，由此得出结论． 【解答】解：（1）由ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0及得：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1， 所以曲线C的参数方程为：； （2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为： == 所以当时，点， 此时，即，k∈z． 所以， 所以点P坐标为，点P到直线l的距离最大值为． 【点评】本题考查参数方程的运用，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，属于中档题． 22. 用如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点． （1）求证：A1E∥平面BB1C1C； （2）若AC=BC，AB=2BB1，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．则可通过证明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C； （2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值． 【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F． ∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1， 又A1B1∥AB，∴四边形A1FBB1是平行四边形， ∴A1F∥BB1，∵E，F分别AC，AB的中点，∴EF∥BC， 又EF?平面A1EF，A1F?平面A1EF，EF∩A1F=F，BC?平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C，BC∩BB1=B， ∴平面A1EF∥平面BB1C1C． 又A1E?平面A1EF，∴A1E∥平面BB1C1C．                                                                                                          解：（2）连结CF，则CF⊥AB， 以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0）， ∴E（，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0）， 设平面A1BE的一个法向量为=（x，y，z）， ，取y=1，得=（，1，1）， 平面ABA1的法向量=（1，0，0），设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ， ，则cosθ=． ∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为， 【点评】本题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．