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河北省保定市龙门村中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=ex﹣ax有两个零点x1,x2,x1<x2,则下面说法正确的是( )
A.x1+x2<2 B.a<e
C.x1x2>1 D.有极小值点x0,且x1+x2<2x0
参考答案:
D
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】对于A:根据对数的运算性质判断即可,
对于B:利用导数判断函数的单调性,以及结合零点定理即可求出a>e;
对于C:f(0)=1>0,0<x1<1,x1x2>1不一定,
对于D:f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增即可得出结论.
【解答】解:∵x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),
取a=,f(2)=e2﹣2a=0,
∴x2=2,f(0)=1>0,
∴0<x1<1,
∴x1+x2>2,A不正确;
∵f(x)=ex﹣ax,
∴f′(x)=ex﹣a,令f′(x)=ex﹣a>0,
①当a≤0时,f′(x)=ex﹣a>0在x∈R上恒成立,
∴f(x)在R上单调递增.
②当a>0时,∵f′(x)=ex﹣a>0,∴ex﹣a>0,解得x>lna,
∴f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
∵函数f(x)=ex﹣ax有两个零点x1<x2,
∴f(lna)<0,a>0,
∴elna﹣alna<0,
∴a>e,B不正确;
f(0)=1>0,
∴0<x1<1,x1x2>1不一定,C不正确;
f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增,
∴有极小值点x0=lna,且x1+x2<2x0=2lna,D正确.
故选:D.
2. 函数 的定义域为---------------------------------( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知a为实数,设函数f(x)=,则f(2a+2)的值为( )
A.2a B.a C.2 D.a或2
参考答案:
B
【考点】函数的值.
【分析】根据函数的解析式求出函数值即可.
【解答】解:∵函数f(x)=,
∴f(2a+2)=log2(2a+2﹣2)=a,
故选:B.
4. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( )
A. 36
B. 45
C. 54
D. 63
参考答案:
C
【分析】
根据三视图还原该几何体,得到该几何体为两个相同的四棱柱拼接而成,再由题中数据,即可求出结果.
【详解】由三视图还原该几何体如下:
可得,该几何体可看作两个相同的四棱柱拼接而成,且四棱柱底面为直角梯形,
由题中数据可得,底面的上底为3,下底为6,高为3,四棱柱的高为3.
因此,该几何体的体积为.
故选C
【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积问题,熟记棱柱的体积公式即可,属于常考题型.
5.
某次文艺汇演,要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单,如下表:
序号
1
2
3
4
5
6
节目
如果A、B两个节目要相邻,且都不排在第3号位置,那么节目单上不同的排序方式有( )
A.192种 B.144种 C.96种 D.72种
参考答案:
答案:B
6. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A. 10 B. -6 C. 3 D. -15
参考答案:
A
略
7. 若函数则的值域是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知中,点是的中点,过点的直线分别交直线、于、两点,若,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
将1拆解为,和利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理.
【详解】
本题正确选项:
【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数关系,易错点在于开完全平方时,要注意符号.
10. “”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则弦的中点到轴的距离为________
参考答案:
12. 由曲线所围成的图形的面积是 .
参考答案:
3
13. (几何证明选讲选做题)如图,是⊙的直径,是延长线上的一点,过作⊙的切线,切点为,,若,则⊙的直径__________
参考答案:
4
14. 已知函数,且 ,那么__________.
参考答案:
-26
15. 设等比数列的前项和为,若,则 .
参考答案:
16.
某志愿者小组一共有6人,某一天中需要排成上午、下午两个班去参加服务,每班2人,则不同的排法的种数为 。
参考答案:
答案:90
17. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴,则的取值范围是 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
已知定义在上的奇函数满足:当时,.
(1)求的解析式和值域;
(2)设,其中常数.
①试指出函数的零点个数;
②若当是函数的一个零点时,相应的常数记为,其中.证明:().
参考答案:
(1)的值域为.
(2)①当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点.
当时,函数在上没有零点,因此函数没有零点.
②见解析
【知识点】导数的应用
(1)为奇函数,.
当时,,则,
时,,,,
的值域为.
(2)①函数的图象如图所示,
当时,方程
有三个实根;当或时,方程只有一个实
根;当或时,方程有两个实根.
由,解得,
的值域为,只需研究函数在上的图象特征.
设,,,
令,得,.
当时,,当时,,
又,即,由,,得,
的大致图象如图所示.
图b
根据图象可知,当时,
直线与函数的图像仅有一个交点,则函数
在上仅有一个零点,记零点为,则分别在区间、
、上,根据图像,方程有两个交点,因此
函数有两个零点.
类似地,当时,函数在上仅有零点,因此函数有、、这三个零点. 当时,函数在上有两个零点,一个零点是,另一个零点在内,因此函数有三个零点.
当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点.
当时,函数在上没有零点,因此函数没有零点.
②因为是函数的一个零点,所以有,,,
,
,.
记,,
当时,,
当时,,即.
故有,则.
当时,;
当时,
,
……
.
综上,有…,.
【思路点拨】时,,,,
的值域为,当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点.当时,,
当时,,即.
故有,则.
19. 已知z1=5+10i,z2=3-4i,,求z.
参考答案:
略
20. (本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为,公差成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前项和.
参考答案:
(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)依题意得
…………………………………………2分
解得, …………………………………………4分
.……………………………6分
(Ⅱ), …………………………………………7分
……………………9分
∴ ………………………………………12分
略
21. 在平面直角坐标系中,椭圆(>>0)的离心率为,以O为圆心,为半径作圆M,再过作圆M的两条切线PA、PB,则= .
参考答案:
22. 已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.
(1)试估计该产品收益率的中位数;
(2)若该产品的售价x(元)与销量y(万份)之间有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如表5组x与y的对应数据:
售价x(元)
25
30
38
45
52
销量y(万份)
7.5
7.1
6.0
5.6
4.8
根据表中数据算出y关于x的线性回归方程为,求的值;
(3)若从表中五组销量数据中随机抽取两组,记其中销量超过6万份的组数为X,求X的分布列及期望.
参考答案:
(1)依题意,设中位数为,,解得.
(2),,
∴.
(3)的可能取值为0,1,2,故,,,
故的分布列为
0
1
2
故.
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