河北省保定市定兴县第一中学高三数学理月考试卷含解析

河北省保定市定兴县第一中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数是指数函数，则的值是    （    ） A．               B．              C．            D． 参考答案： C 2. 已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（     ） A.个           B.个            C.个             D. 个 参考答案： A 【知识点】根的存在性及根的个数判断．B9 当时，即或， ∴， 当时，即 或， ∴， ∴， 其图象如下图所示： 故选：A． 【思路点拨】首先，根据所给函数，求解的图象，然后，根据图象，得到相应的结果． 3. 已知全集集合则等于（   ） A.      B.     C.       D. 参考答案： B 4. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 (  )       A.        B.         C.           D. 参考答案： B 蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体,其体积为1.而棱长为3的正方体的体积为27.故所求概率为.选B. 5. 若复数z=ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有（    ） A．b=0        B．a=0且b≠0       C．a=0或b=0       D．ab≠0 参考答案： B z=ai2－bi=－a－bi，由纯虚数定义可得a=0且b≠0，故选B.   6. 如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（    ） A.①②       B.③④      C.①②③     D. ①②④ 参考答案： D ∵,,∴,,∴BD平分，∴∽， ∴，∴，∴， . 7. 函数的定义域是 A. B. C. D. . 参考答案： 【答案解析】D  要使函数有意义则故选D。 【思路点拨】先表示有意义的式子，再解出结果。 8. 四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为(     ) A．8π B．12π C．16π D．32π 参考答案： C 考点：球的体积和表面积． 专题：球． 分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积． 解答： 解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD， △BCD是边长为3的等边三角形． ∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形， △BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心， BE=，BG=，   R===2． 四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π． 故选：C． 点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键． 9. 已知全集，集合，，则 A.　　　 B.　　　C.　　　Ｄ. 参考答案： A 略 10. “”是“直线：与直线：平行”的 （A）充分不必要条件                                    （B）必要不充分条件 （C）充要条件                                               （D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数在处取得极大值10，则的值为            __________． 参考答案： 略 12. 定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都适应。若，，则        ．    参考答案： 13. 如图，AB是圆0的直径，CD⊥AB于D点，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，若CD=，则EF=      . 参考答案： 14. 某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分     方差为           参考答案： 85，   成绩平均分85 ，方差为 15. 若不等式组表示的平面区域所表示的平面的区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为           。 参考答案： 略 16. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　   　． 参考答案： 4 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0． ∵a8=a6+2a4， ∴， 化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2． ∴a6===1×22=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 17. 从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是①③④ （写出所有正确的结论的编号）________ ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 参考答案： ①③④⑤ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. (I)求f(x)的最小值m; (II)若a，b，c均为正实数，且满足,求证:. 参考答案： I)当时， 当时，, 当时， 综上，的最小值 (II) 证明: 均为正实数，且满足, ∵ ( 当且仅当时，取“=”) ∴，即 19. 参考答案： 略 20. （本小题满分12分）已知三点的坐标分别是，，其中，且. （Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）当 时，求函数 的最大值和最小值． 参考答案： 解：(Ⅰ) =(cosθ-3,sinθ)， =(cosθ，sinθ-3)  … 2分 ∵   ∴ 化简得：sinθ=cosθ               ………………………………………………  5分 ∵<θ< ∴θ=              …………………………………… 7分 （Ⅱ）当0≤x≤时，……10分 ∴   …………………………………………12分 略 21. 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%． （1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）； （2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）根据公司要选择的函数模型所要满足的条件，逐一分析，即可得出结论； （2）根据奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%，确定a的范围，即可确定最小的正整数a的值． 【解答】解：（1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （ k 为常数 ）， x=100时，y=9，代入解得k=， 所以y=lgx++5． 当x∈[50，500]时，y=lgx++5是增函数，但x=50时，f（50）=lg50+6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求； （2）对于函数模型f（x）==15﹣ a为正整数，函数在[50，500]递增； f（x）min=f（50）≥7，解得a≤344； 要使f（x）≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥﹣0.15x2+13.8x对x∈[50，500]恒成立， 所以a≥315． 综上所述，315≤a≤344， 所以满足条件的最小的正整数a的值为315． 22. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）． （1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x﹣2y﹣7=0垂直，求f（x）的单调区间； （2）求证：f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x﹣2y﹣7=0垂直，求出a的值，利用导数的正负求f（x）的单调区间； （2）分充分性、必要性证明，即可证明f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1． 【解答】（1）解：因为，所以f'（1）=1﹣a， 所以，解得a=3． 令，得x＞3，所以f（x）得单调递增区间为（3，+∞）， 令，得0＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（0，3）． （2）证明：①充分性． 当a=1时，f（x）=x﹣lnx，， 所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； 当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上是减函数． 所以f（x）≥f（1）=1． ②必要性．，其中x＞0． （i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． 而f（1）=1，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜1，与f（x）≥1恒成立矛盾， 所以a≤0不满足题意． （ii）当a＞0时， 因为当x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数； 当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数． 所以f（x）≥f（a）=a﹣alna， 因为f（1）=1，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=1，此时与f（x）≥1恒成立矛盾， 所以a=1． 综上所述，f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．