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江西省赣州市白鹭中学2022年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则有( ).
A.a、c、b 成等比数列 B.a、c、b 成等差数列
C.a、b、c 成等差数列 D.a、b、c成等比数列
参考答案:
D
3. 在中,,,面积,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
解:因为,,面积
,
选B
4.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
参考答案:
答案:D
5. 给出下列三个结论:(1)若命题为真命题,命题为真命题,则命题“”为真命题;(2)命题“若,则或”的否命题为“若,则或”;(3)命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
C
为真,则为假,所以为假命题,所以(1)错误.“若,则或”的否命题为“若且,则”,所以(2)错误.(3)正确.选C.
6. 已知集合A={x|﹣1≤x≤3},B={x|2x>2},则A∩B=( )
A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1<x≤3} C.{x|﹣1≤x<2} D.{x|x>2}
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】化简集合B,再求A∩B.
【解答】解:∵集合A={x|﹣1≤x≤3},
B={x|2x>2}={x|x>1},
∴A∩B={x|1<x≤3}.
故选:B.
7. 函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案:
答案:B
解析:由,故选B.
8. 函数f(x)=sin2x在区间[-3,3]上的零点的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
略
9. 复数满足为虚数单位), 则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:由题设可得,故,因此应选D.
考点:复数的运算.
10. 如图,、是椭圆与双曲线:的公 共焦点,、
分别是与在第二、四象限的公共点. 若四边形为矩形
,则的离心率是
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的导函数的部分图像如图所示:图象与轴交点,与x轴正交点为A、C,B为图象的最低点 ,则
参考答案:
12. 有一根长为1米的绳子,随机从中间细绳剪断,则使两截的长度都大于米的概率为_________。
参考答案:
略
13. F1,F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,I是△PF1F2的内心,且S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2,则双曲线的离心率e= .
参考答案:
考点:
双曲线的简单性质..
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
先根据题意作出示意图,如图所示,利用平面几何的知识利用三角形面积公式,代入已知式S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2,化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率.
解答:
解:如图,设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,
则IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,它们分别是
△IF1F2,△IPF1,△IPF2的高,
∴S△IPF1=×|PF1|×|IF|=|PF1|,
S△IPF2=×|PF2|×|IG|=|PF2|
S△IF1F2=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|,其中r是△PF1F2的内切圆的半径.
∵S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2,
∴|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|
两边约去 得:|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|
∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|
根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∴3a=2c?离心率为e==.
故答案为:.
点评:
本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中,用来求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点,属于中档题.
14. (2009江西卷文)已知向量,, ,若 则= .
参考答案:
解析:因为所以.
15. 平面向量,,(),且与的夹角等于与的夹角,则____________。
参考答案:
2
16. (5分)(2015?庆阳模拟)如图所示的是正方形的顶点A为圆心,边长为半径的画弧形成的图象,现向正方形内投掷一颗豆子(假设豆子不落在线上),则恰好落在阴影部分的概率为 .
参考答案:
1﹣
【考点】: 几何概型.
【专题】: 应用题;概率与统计.
【分析】: 先令正方形的边长为a,则S正方形=a2,则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形=a2,从而结合几何概型的计算公式即可求得恰好落在阴影部分的概率.
解:令正方形的边长为a,则S正方形=a2,
则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形=a2,
则豆子恰好落在阴影部分的概率为P=1﹣.
故答案为:1﹣.
【点评】: 本小题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积.属于基础题.
17. 给出下列四个命题:
① 函数为奇函数的充要条件是=0;
② 函数 的反函数是 ;
③ 若函数的值域是R,则或;
④ 若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称.其中所有正确命题的序号是
参考答案:
①②③
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)
已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数,若且,求实数的取值范围;
(Ⅱ)已知,且的部分函数值由下表给出,
求证:;
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.
参考答案:
解:(I)因为且,
即在是增函数,所以 ………………1分
而在不是增函数,而
当是增函数时,有,所以当不是增函数时,
综上,得 …4分
(Ⅱ) 因为,且
所以,
所以,
同理可证,
三式相加得
所以 …………6分
因为所以
而, 所以
所以 ………8分
(Ⅲ) 因为集合
所以,存在常数,使得 对成立
我们先证明对成立
假设使得,
记
因为是二阶比增函数,即是增函数.
所以当时,,所以
所以一定可以找到一个,使得
这与 对成立矛盾 …………11分
对成立
所以,对成立
下面我们证明在上无解
假设存在,使得,
则因为是二阶增函数,即是增函数
一定存在,,这与上面证明的结果矛盾
所以在上无解
综上,我们得到,对成立
所以存在常数,使得,,有成立
又令,则对成立,
又有在上是增函数 ,所以,
而任取常数,总可以找到一个,使得时,有
所以的最小值 为0 …13分
19. 选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与轴的交点为,直线与曲线的交点为,求的值.
参考答案:
解:(1) 直线l的普通方程为
∵,
∴曲线C的直角坐标方程为
(2) 将直线的参数方程 (t为参数)代入曲线方程
得
∴
∴|PA||PB|=|t1t2|=3.
20. 已知数列{an}的各项均是正数,其前n项和为Sn,满足Sn=4﹣an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N*),求数列{bn}的前2n项和T2n.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出;
(2)n为奇数时,bn==n﹣2.n为偶数时,bn=.分组分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(1)由Sn=4﹣an,Sn+1=4﹣an+1,两式相减得an+1=an﹣an+1,
得=,
又a1=S1=4﹣a1,解得a1=2.
故数列{an}是以2为首项,为公比的等比数列.
故an=2×=.
(2)n为奇数时,bn==n﹣2.
n为偶数时,bn=.
∴T2n=(b1+b3+…+b2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n)
=[﹣1+1+…+(2n﹣3)]+ +…+
=+
=n2﹣2n+.
21. 已知向量,.
(1)若角的终边过点(3,4),求a·b的值;
(2)若a∥b,求锐角的大小.
参考答案:
解:(1)由题意,,
所以
.
(2)因为,所以,即,所以,
则,对锐角有,所以,
所以锐角.
22. 已知函数:
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证:.(且)
参考答案:
解:(1) ,
当时,的单调增区间为,减区间为;.......... 1分
当时,的单调增区间为,减区间为;........... 2分
当时,不是单调函数.................................. 3分
(2)得,
∴,∴............ 5分
∵在区间上总不是单调函数,且∴
由题意知:对于任意的,恒成立,
所以,,∴ .................................. 8分 (3)令此时,所以,
由⑴知在上单调递增,∴当时,
即,∴对一切成立,..................... 10分
取,则即,………………12分
……………14分
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