江西省赣州市白鹭中学2022年高三数学理期末试题含解析

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江西省赣州市白鹭中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为(   ) A. B. C. D. 参考答案: C 略 2. 在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则有(       ).    A.a、c、b 成等比数列         B.a、c、b 成等差数列    C.a、b、c 成等差数列         D.a、b、c成等比数列 参考答案: D 3. 在中,,,面积,则(     ) A.        B.        C.       D. 参考答案: B 解:因为,,面积 , 选B 4. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(   )                                          A.直线           B.圆      C.双曲线         D.抛物线   参考答案: 答案:D 5. 给出下列三个结论:(1)若命题为真命题,命题为真命题,则命题“”为真命题;(2)命题“若,则或”的否命题为“若,则或”;(3)命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为 A.个       B.个         C.个        D.个 参考答案: C 为真,则为假,所以为假命题,所以(1)错误.“若,则或”的否命题为“若且,则”,所以(2)错误.(3)正确.选C. 6. 已知集合A={x|﹣1≤x≤3},B={x|2x>2},则A∩B=(  ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1<x≤3} C.{x|﹣1≤x<2} D.{x|x>2} 参考答案: B 【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合B,再求A∩B. 【解答】解:∵集合A={x|﹣1≤x≤3}, B={x|2x>2}={x|x>1}, ∴A∩B={x|1<x≤3}. 故选:B. 7. 函数的定义域是   A.         B.     C.         D. 参考答案: 答案:B 解析:由,故选B. 8. 函数f(x)=sin2x在区间[-3,3]上的零点的个数为 (     ) A.3            B.4            C.5           D.6 参考答案: B 略 9. 复数满足为虚数单位), 则等于(   ) A.                         B.                       C.                    D. 参考答案: D 试题分析:由题设可得,故,因此应选D. 考点:复数的运算. 10. 如图,、是椭圆与双曲线:的公 共焦点,、 分别是与在第二、四象限的公共点.  若四边形为矩形 ,则的离心率是 A.       B.        C.       D.                 参考答案: C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的导函数的部分图像如图所示:图象与轴交点,与x轴正交点为A、C,B为图象的最低点 ,则         参考答案: 12. 有一根长为1米的绳子,随机从中间细绳剪断,则使两截的长度都大于米的概率为_________。 参考答案: 略 13. F1,F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,I是△PF1F2的内心,且S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2,则双曲线的离心率e=  . 参考答案: 考点: 双曲线的简单性质.. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据题意作出示意图,如图所示,利用平面几何的知识利用三角形面积公式,代入已知式S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2,化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率. 解答: 解:如图,设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG, 则IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,它们分别是 △IF1F2,△IPF1,△IPF2的高, ∴S△IPF1=×|PF1|×|IF|=|PF1|, S△IPF2=×|PF2|×|IG|=|PF2| S△IF1F2=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|,其中r是△PF1F2的内切圆的半径. ∵S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2, ∴|PF2|=|PF1|﹣|F1F2| 两边约去 得:|PF2|=|PF1|﹣|F1F2| ∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2| 根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c ∴3a=2c?离心率为e==. 故答案为:. 点评: 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中,用来求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点,属于中档题. 14. (2009江西卷文)已知向量,, ,若 则=         . 参考答案:   解析:因为所以. 15. 平面向量,,(),且与的夹角等于与的夹角,则____________。   参考答案: 2   16.  (5分)(2015?庆阳模拟)如图所示的是正方形的顶点A为圆心,边长为半径的画弧形成的图象,现向正方形内投掷一颗豆子(假设豆子不落在线上),则恰好落在阴影部分的概率为  . 参考答案: 1﹣ 【考点】: 几何概型. 【专题】: 应用题;概率与统计. 【分析】: 先令正方形的边长为a,则S正方形=a2,则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形=a2,从而结合几何概型的计算公式即可求得恰好落在阴影部分的概率. 解:令正方形的边长为a,则S正方形=a2, 则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形=a2, 则豆子恰好落在阴影部分的概率为P=1﹣. 故答案为:1﹣. 【点评】: 本小题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积.属于基础题. 17. 给出下列四个命题: ① 函数为奇函数的充要条件是=0; ② 函数 的反函数是 ; ③ 若函数的值域是R,则或; ④ 若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称.其中所有正确命题的序号是                   参考答案: ①②③ 略 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本小题满分13分) 已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为. (Ⅰ)已知函数,若且,求实数的取值范围; (Ⅱ)已知,且的部分函数值由下表给出,  求证:; (Ⅲ)定义集合 请问:是否存在常数,使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由. 参考答案: 解:(I)因为且, 即在是增函数,所以  ………………1分 而在不是增函数,而 当是增函数时,有,所以当不是增函数时, 综上,得   …4分 (Ⅱ) 因为,且   所以, 所以, 同理可证, 三式相加得  所以             …………6分 因为所以 而, 所以 所以 ………8分 (Ⅲ) 因为集合   所以,存在常数,使得  对成立 我们先证明对成立 假设使得, 记 因为是二阶比增函数,即是增函数. 所以当时,,所以      所以一定可以找到一个,使得 这与 对成立矛盾    …………11分 对成立  所以,对成立 下面我们证明在上无解 假设存在,使得, 则因为是二阶增函数,即是增函数 一定存在,,这与上面证明的结果矛盾 所以在上无解 综上,我们得到,对成立 所以存在常数,使得,,有成立 又令,则对成立, 又有在上是增函数 ,所以, 而任取常数,总可以找到一个,使得时,有 所以的最小值 为0          …13分 19. 选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程; (2)若直线与轴的交点为,直线与曲线的交点为,求的值. 参考答案: 解:(1)  直线l的普通方程为  ∵,  ∴曲线C的直角坐标方程为   (2)  将直线的参数方程 (t为参数)代入曲线方程  得  ∴    ∴|PA||PB|=|t1t2|=3.    20. 已知数列{an}的各项均是正数,其前n项和为Sn,满足Sn=4﹣an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn= (n∈N*),求数列{bn}的前2n项和T2n. 参考答案: 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出; (2)n为奇数时,bn==n﹣2.n为偶数时,bn=.分组分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解:(1)由Sn=4﹣an,Sn+1=4﹣an+1,两式相减得an+1=an﹣an+1, 得=, 又a1=S1=4﹣a1,解得a1=2. 故数列{an}是以2为首项,为公比的等比数列. 故an=2×=. (2)n为奇数时,bn==n﹣2. n为偶数时,bn=. ∴T2n=(b1+b3+…+b2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n) =[﹣1+1+…+(2n﹣3)]+ +…+ =+ =n2﹣2n+. 21. 已知向量,. (1)若角的终边过点(3,4),求a·b的值; (2)若a∥b,求锐角的大小. 参考答案: 解:(1)由题意,, 所以 . (2)因为,所以,即,所以, 则,对锐角有,所以, 所以锐角.   22. 已知函数: (1)讨论函数的单调性; (2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求m的取值范围; (3)求证:.(且) 参考答案: 解:(1) , 当时,的单调增区间为,减区间为;.......... 1分 当时,的单调增区间为,减区间为;........... 2分 当时,不是单调函数.................................. 3分 (2)得, ∴,∴............ 5分 ∵在区间上总不是单调函数,且∴  由题意知:对于任意的,恒成立, 所以,,∴    .................................. 8分 (3)令此时,所以, 由⑴知在上单调递增,∴当时, 即,∴对一切成立,..................... 10分 取,则即,………………12分   ……………14分
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